अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: $sec^2x \tan y dx + sec^2y \tan x dy = 0$
Exercise-9.4-4
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दिया है$, \sec^2x \tan y dx + \sec^2y \tan x \ dy = 0$
चरों के पृथक्करण से,
$\Rightarrow \sec^2x \tan y \ dx = -\sec^2y \tan x dy$
$\Rightarrow \frac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\frac{\sec ^{2} y}{\tan y} \ d y$
समाकलन करने पर$, \int \frac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\int \frac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y$
माना$ \tan x = u$
$\Rightarrow \sec ^{2} x=\frac{d u}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d u}{\sec ^{2} x}$
तथा $\tan y = v$
$\Rightarrow \sec ^{2} y=\frac{d v}{d y}$
$\Rightarrow d y=\frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\int \frac{\sec ^{2} x}{u} \frac{d u}{\sec ^{2} x} =-\int \frac{\sec ^{2} y}{v} \frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\Rightarrow \int \frac{d u}{u}=-\int \frac{d v}{v}$
$\Rightarrow \log |u| = -\log |v| + \log |C|$
$\Rightarrow \log |\tan x| = -\log |\tan y| + \log |C|$
$\Rightarrow \log |\tan x \tan y| = \log |C|\ (\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow \tan x \cdot \tan = C\ (\because \log m = \log n \Rightarrow m = n)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
चरों के पृथक्करण से,
$\Rightarrow \sec^2x \tan y \ dx = -\sec^2y \tan x dy$
$\Rightarrow \frac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\frac{\sec ^{2} y}{\tan y} \ d y$
समाकलन करने पर$, \int \frac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\int \frac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y$
माना$ \tan x = u$
$\Rightarrow \sec ^{2} x=\frac{d u}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d u}{\sec ^{2} x}$
तथा $\tan y = v$
$\Rightarrow \sec ^{2} y=\frac{d v}{d y}$
$\Rightarrow d y=\frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\int \frac{\sec ^{2} x}{u} \frac{d u}{\sec ^{2} x} =-\int \frac{\sec ^{2} y}{v} \frac{d v}{\sec ^{2} y}$
$\Rightarrow \int \frac{d u}{u}=-\int \frac{d v}{v}$
$\Rightarrow \log |u| = -\log |v| + \log |C|$
$\Rightarrow \log |\tan x| = -\log |\tan y| + \log |C|$
$\Rightarrow \log |\tan x \tan y| = \log |C|\ (\because \log m + \log n = \log mn)$
$\Rightarrow \tan x \cdot \tan = C\ (\because \log m = \log n \Rightarrow m = n)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
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