अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: $y \log y\ dx - x \ dy = 0$
Exercise-9.4-7
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दिया है$, y \log y dx - x dy = 0$
चर पृथक्करण से$, y \log y \ dx = x \ dy$
$\Rightarrow \frac{1}{x} d x=\frac{1}{y \log y} d y$
समाकलन करने पर$, \int \frac{1}{x} d x=\int \frac{1}{y \log y} d y$
माना $\log y = t$
$\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{d t}{d y}$
$\Rightarrow dy = y\ dt$
$\therefore \int \frac{1}{x} d x=\int \frac{1}{y t} y\ d t$
$\Rightarrow \log |x| = \log |t| - \log |C|$
$\Rightarrow \log |xC| = \log |\log y| \ (\because \log m + \log n = \log mn$ तथा $\log m = \log n \Rightarrow m = n)$
$\Rightarrow Cx = \log y$
$\Rightarrow y = e^{Cx}\ (\because log_ex = m \Rightarrow e^m = x)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
चर पृथक्करण से$, y \log y \ dx = x \ dy$
$\Rightarrow \frac{1}{x} d x=\frac{1}{y \log y} d y$
समाकलन करने पर$, \int \frac{1}{x} d x=\int \frac{1}{y \log y} d y$
माना $\log y = t$
$\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{d t}{d y}$
$\Rightarrow dy = y\ dt$
$\therefore \int \frac{1}{x} d x=\int \frac{1}{y t} y\ d t$
$\Rightarrow \log |x| = \log |t| - \log |C|$
$\Rightarrow \log |xC| = \log |\log y| \ (\because \log m + \log n = \log mn$ तथा $\log m = \log n \Rightarrow m = n)$
$\Rightarrow Cx = \log y$
$\Rightarrow y = e^{Cx}\ (\because log_ex = m \Rightarrow e^m = x)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
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