अवकल समीकरण $y e^{\frac{x}{y}} d x=\left(x e^{\frac{x}{y}}+y^{2}\right) d y(y \neq 0)$ का हल ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-10
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दिया गया अवकल समीकरण $y e^{y} d x=\left(x e^{\frac{x}{y}}+y^{2}\right) d y$ है।
$\Rightarrow e^{\frac{x}{y}} \frac{d x}{d y}=\frac{x}{y} e^{\frac{x}{y}}+y$
$\Rightarrow e^{\frac{x}{y}} \frac{d x}{d y}-\frac{x}{y} e^{\frac{x}{y}}=y$
मान लीजिए $\frac{x}{y}=v$
$\Rightarrow x = vy$
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $e^{v}\left(v+y \frac{d v}{d y}\right)-v e^{v}=y$
$\Rightarrow e^{v} y \frac{d v}{d y}=y$
$\Rightarrow e^{v} \frac{d v}{d y}=1$
$\Rightarrow e^vdv = dy$
समाकलन करने पर, $\int e^{v} d v=\int 1 d y$
$\Rightarrow e^v = y + C$
$\Rightarrow e^{\frac{x}{y}} = y + C$
$\Rightarrow e^{\frac{x}{y}} \frac{d x}{d y}=\frac{x}{y} e^{\frac{x}{y}}+y$
$\Rightarrow e^{\frac{x}{y}} \frac{d x}{d y}-\frac{x}{y} e^{\frac{x}{y}}=y$
मान लीजिए $\frac{x}{y}=v$
$\Rightarrow x = vy$
$\Rightarrow \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d x}$
समी. $(i)$ से, $e^{v}\left(v+y \frac{d v}{d y}\right)-v e^{v}=y$
$\Rightarrow e^{v} y \frac{d v}{d y}=y$
$\Rightarrow e^{v} \frac{d v}{d y}=1$
$\Rightarrow e^vdv = dy$
समाकलन करने पर, $\int e^{v} d v=\int 1 d y$
$\Rightarrow e^v = y + C$
$\Rightarrow e^{\frac{x}{y}} = y + C$
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