बिंदु $(0, -2)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिंदु के $y$ निर्देशांक का गुणनफल उस बिंदु के $x$ निर्देशांक के बराबर है।
Exercise-9.4-17
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माना $x$ तथा $y$ वक्र के क्रमशः $x-$निर्देशांक तथा $y-$निर्देशांक है।
हम जानते हैं कि वक्र के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ होती है। प्रश्नानुसार,
स्पर्शरेखा की प्रवणता $xy-$निर्देशांक $= x-$निर्देशांक
$y \cdot \frac{d y}{d x}=x ...(i)$
चरों के पृथक्करण से$, y\ dy = x\ dx$
समाकलन करने पर$, \int y\ d y=\int x\ d x$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+C ...(ii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, -2)$ से होकर जाता है,
अतः $\frac{(-2)^{2}}{2}=0+C$
$\Rightarrow C=\frac{4}{2} = 2$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+2$
$\Rightarrow x^2 - y^2 + 4 = 0$
जोकि वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
हम जानते हैं कि वक्र के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{d y}{d x}$ होती है। प्रश्नानुसार,
स्पर्शरेखा की प्रवणता $xy-$निर्देशांक $= x-$निर्देशांक
$y \cdot \frac{d y}{d x}=x ...(i)$
चरों के पृथक्करण से$, y\ dy = x\ dx$
समाकलन करने पर$, \int y\ d y=\int x\ d x$
$\Rightarrow \frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+C ...(ii)$
चूँकि वक्र बिंदु $(0, -2)$ से होकर जाता है,
अतः $\frac{(-2)^{2}}{2}=0+C$
$\Rightarrow C=\frac{4}{2} = 2$
$C$ का मान समी. $(ii)$ में रखने पर,
$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+2$
$\Rightarrow x^2 - y^2 + 4 = 0$
जोकि वक्र का अभीष्ट समीकरण है।
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