बिंदु $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है।
Miscellaneous Exercise-8
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दिए गए वक्र का अवकल समीकरण है
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 $\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} d x+\frac{\sin y}{\cos y} d y=0$
$\Rightarrow$ tan x dx + tan y dy = 0
समाकलन करने पर, $\int \tan x d x+\int \tan y d y$ = log C
$\Rightarrow$ log (sec x) + log (sec y) = log C
$\Rightarrow$ sec x . sec y = C ...(i)
चूँकि वक्र बिंदुओं $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से होकर जाता है। अतः x = 0, $y=\frac{\pi}{4}$ रखने पर,
sec 0 sec $\frac{\pi}{4}$ = C $\Rightarrow$ C = $\sqrt{2}$
C का मान समी. (i) में रखने पर, sec x $\cdot$ sec y = $\sqrt{2}$
$\Rightarrow \sec x \cdot \frac{1}{\cos y}=\sqrt{2}$ $\Rightarrow \cos y=\frac{\sec x}{\sqrt{2}}$
अतः वक्र का अभीष्ट समीकरण $\cos y=\frac{\sec x}{\sqrt{2}}$ है।
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 $\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} d x+\frac{\sin y}{\cos y} d y=0$
$\Rightarrow$ tan x dx + tan y dy = 0
समाकलन करने पर, $\int \tan x d x+\int \tan y d y$ = log C
$\Rightarrow$ log (sec x) + log (sec y) = log C
$\Rightarrow$ sec x . sec y = C ...(i)
चूँकि वक्र बिंदुओं $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ से होकर जाता है। अतः x = 0, $y=\frac{\pi}{4}$ रखने पर,
sec 0 sec $\frac{\pi}{4}$ = C $\Rightarrow$ C = $\sqrt{2}$
C का मान समी. (i) में रखने पर, sec x $\cdot$ sec y = $\sqrt{2}$
$\Rightarrow \sec x \cdot \frac{1}{\cos y}=\sqrt{2}$ $\Rightarrow \cos y=\frac{\sec x}{\sqrt{2}}$
अतः वक्र का अभीष्ट समीकरण $\cos y=\frac{\sec x}{\sqrt{2}}$ है।
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