$y-$अक्ष को मूल बिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-9.3-6
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$y-$अक्ष को मूलबिंदु पर स्पर्श करने वाले वृत्त का केन्द्र $x-$अक्ष पर होगा। माना $(a, 0)$ वृत्त का केंद्र तथा $a$ वृत्त की त्रिज्या है, तब वृत्त का समीकरण निम्न है
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = 2ax ...(i)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x + 2yy' = 2a$
$\Rightarrow x + yy' = a$
समी. $(i)$ से a का मान रखने पर,
$x^2 + y^2 = 2(x + yy')x$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xyy'$
$\Rightarrow 2xyy' + x^2 = y^2$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = 2ax ...(i)$
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x + 2yy' = 2a$
$\Rightarrow x + yy' = a$
समी. $(i)$ से a का मान रखने पर,
$x^2 + y^2 = 2(x + yy')x$
$\Rightarrow x^2 + y^2 = 2x^2 + 2xyy'$
$\Rightarrow 2xyy' + x^2 = y^2$
जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
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