बिंदुओं $A(1, 2, -3)$ एवं $B(-1, -2, 1)$ को मिलाने वाले एवं $A$ से $B$ की तरफ़ दिष्ट सदिश की दिक् $\text{cosine}$ ज्ञात कीजिए।
Exercise-10.2-13
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दिए गए बिंदु $A(1, 2, -3)$ तथा $B(-1, -2, 1)$ हैं।
अर्थात् $x_1 = 1, y_1 = 2, z_1 = -3$ तथा $x_2 = -1, y_2 = -2, z_2 = 1$
सदिश $AB = \left(x_{2}-x_{1}\right) \hat{{i}}+\left(y_{2}-y_{1}\right) \hat{{j}}$
$+\left(z_{2}-z_{1}\right) \hat{{k}}$
$= (-1 -1) \hat{{i}} + (-2-2) \hat{{j}} + [1 - (-3)] \hat{{k}} = -2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec X = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर हम प्राप्त करते हैं
$x = -2, y = -4$ तथा $z = 4$
$\vec {AB}$ का परिमाण$, |\vec {AB}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}}$
$= \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$
सदिश $\vec {X} = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ की दिक् कोज्याएँ $\frac{{x}}{|{X}|}, \frac{y}{|{X}|}, \frac{{z}}{|{X}|}$ हैं।
अतः सदिश $AB$ की दिक् कोज्याएँ $\frac{-2}{6}, \frac{-4}{6}, \frac{4}{6}$ या $-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ हैं।
अर्थात् $x_1 = 1, y_1 = 2, z_1 = -3$ तथा $x_2 = -1, y_2 = -2, z_2 = 1$
सदिश $AB = \left(x_{2}-x_{1}\right) \hat{{i}}+\left(y_{2}-y_{1}\right) \hat{{j}}$
$+\left(z_{2}-z_{1}\right) \hat{{k}}$
$= (-1 -1) \hat{{i}} + (-2-2) \hat{{j}} + [1 - (-3)] \hat{{k}} = -2 \hat{{i}}-4 \hat{{j}}+4 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $\vec X = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर हम प्राप्त करते हैं
$x = -2, y = -4$ तथा $z = 4$
$\vec {AB}$ का परिमाण$, |\vec {AB}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+(-4)^{2}+4^{2}}$
$= \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$
सदिश $\vec {X} = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ की दिक् कोज्याएँ $\frac{{x}}{|{X}|}, \frac{y}{|{X}|}, \frac{{z}}{|{X}|}$ हैं।
अतः सदिश $AB$ की दिक् कोज्याएँ $\frac{-2}{6}, \frac{-4}{6}, \frac{4}{6}$ या $-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}$ हैं।
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