यदि किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B, C क्रमश: (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2)हैं तो $\angle$ ABC ज्ञात कीजिए। [$\angle$ ABC, सदिशों $\vec{{BA}}$ एवं $\vec{{BC}}$ के बीच का कोण है]
Exercise-10.3-15
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दिए गए बिंदु A(1, 2, 3), B(-1, 0, 0) तथा C(0, 1, 2) हैं तथा $\angle$ ABC सदिश $\vec{BA}$ तथा $\vec{BC}$ के बीच का कोण हैं।
यहाँ, $\vec{BA}$ = $\vec{A}$ का स्थिति सदिश $\vec{B}$ का स्थिति सदिश
$(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - $(-\hat{{i}}+0 \hat{{j}}+0 \hat{{k}})$ = [$-\hat{{i}}-(-\hat{{i}})+(2 \hat{{j}}-0)$$+(3 \hat{{k}}-0)$]
= $2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
|$\vec{BA}$| = $\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(3)^{2}}$ = $\sqrt{4+4+9}$ = $\sqrt{17}$
$\vec{BC}$ = $\vec{C}$ का स्थिति सदिश - $\vec{B}$ का स्थिति सदिश
= $(0 \hat{{i}}+1 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ - $(-\hat{{i}}+0 \hat{{j}}+0 \hat{{k}})$
= [0 - $(-\hat{{i}})+(1 \hat{{j}}-0)+(2 \hat{{k}}-0)$] = $\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}$
|$\vec{BC}$| = $\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}}$ = $\sqrt{1+1+4}$ = $\sqrt{6}$
अब, $\vec{BA}$ $\cdot$ $\vec{BC}$ = ($2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$) $\cdot$ ($\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$) = 2 $\times$ 1 + 2 $\times$ 1 + 3 $\times$ 2 = 10
cos $\theta$ = $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B A}||\vec{B C}|}$ $\Rightarrow$ cos ($\angle$ABC) = $\frac{10}{\sqrt{17} \sqrt{6}}$ $\Rightarrow$ $\angle$ABC = $\cos ^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{102}}\right)$
यहाँ, $\vec{BA}$ = $\vec{A}$ का स्थिति सदिश $\vec{B}$ का स्थिति सदिश
$(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}})$ - $(-\hat{{i}}+0 \hat{{j}}+0 \hat{{k}})$ = [$-\hat{{i}}-(-\hat{{i}})+(2 \hat{{j}}-0)$$+(3 \hat{{k}}-0)$]
= $2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$
|$\vec{BA}$| = $\sqrt{(2)^{2}+(2)^{2}+(3)^{2}}$ = $\sqrt{4+4+9}$ = $\sqrt{17}$
$\vec{BC}$ = $\vec{C}$ का स्थिति सदिश - $\vec{B}$ का स्थिति सदिश
= $(0 \hat{{i}}+1 \hat{{j}}+2 \hat{{k}})$ - $(-\hat{{i}}+0 \hat{{j}}+0 \hat{{k}})$
= [0 - $(-\hat{{i}})+(1 \hat{{j}}-0)+(2 \hat{{k}}-0)$] = $\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}$
|$\vec{BC}$| = $\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}}$ = $\sqrt{1+1+4}$ = $\sqrt{6}$
अब, $\vec{BA}$ $\cdot$ $\vec{BC}$ = ($2 \hat{{i}}+2 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}$) $\cdot$ ($\hat{{i}}+\hat{{j}}+2 \hat{{k}}$) = 2 $\times$ 1 + 2 $\times$ 1 + 3 $\times$ 2 = 10
cos $\theta$ = $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B A}||\vec{B C}|}$ $\Rightarrow$ cos ($\angle$ABC) = $\frac{10}{\sqrt{17} \sqrt{6}}$ $\Rightarrow$ $\angle$ABC = $\cos ^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{102}}\right)$
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