$ x(\alpha, 1,2)+y(1, \beta, 2)+z(2,3, \gamma)=(0,0,0) $

$ x, y, z \in R, x y z \neq 0 $

$ \alpha x+y+2 z=0 $

$ x+\beta y+3 z=0 $

$ 2 x+2 y+\gamma z=0 $

$ x y z \neq 0 \Rightarrow$ non-trivial

$\left|\begin{array}{lll}\alpha & 1 & 2 \\ 1 & \beta & 3 \\ 2 & 2 & \gamma\end{array}\right|=0$

$ \Rightarrow \alpha(\beta \gamma-6)-1(\gamma-6)+2(2-2 \beta)=0 $

$ \Rightarrow \alpha \beta \gamma-6 \alpha-\gamma+6+4-4 \beta=0 $

$ \Rightarrow 6 \alpha+4 \beta+\gamma=55$