दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल का ज्ञात कीजिए।
example-2
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आकृति में दीर्घवृत्त से घिरे क्षेत्र ABA'B'A का क्षेत्रफल = 4(दिए हुए वक्र, x - अक्ष, कोटियों x = 0, x = a द्वारा प्रथम चतुर्थांश में घिरे क्षेत्र AOBA का क्षेत्रफल) (क्योंकि दीर्घवृत्त x-अक्ष एवं y-अक्ष दोनों के परितः सममित है)
$=4 \int_{0}^{a} y d x$ (उर्ध्वाधर पट्टियाँ लेते हुए)
अब $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से $y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ प्राप्त होता है, परंतु क्षेत्र AOBA प्रथम चतुर्थांश में है इसलिए y धनात्मक लिया जाता है, इसलिए अभीष्ट क्षेत्रफल
$=4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$
$=\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]_{0}^{a}$
$=\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right]$
$=\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b$ है।
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