प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= 32,$ रेखा $y = x,$ एवं $x-$अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
example-4
Download our app for free and get started
दिए हुए समीकरण हैं:
$y = x ...(i)$
और $x^{2 }+ y^{2 }= 32 ...(ii)$
समीकरण $(i)$ तथा $(ii)$ को हल करने पर हम पाते हैं कि दिया हुआ वृत्त एवं दी हुई रेखा एक दूसरे को प्रथम चतुर्थांश में $B(4, 4)$ पर मिलते हैं आकृति। $x-$अक्ष के ऊपर $BM$ लम्ब खींचिए।
इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $\text{OBMO}$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $\text{BMAB}$ का क्षेत्रफल
अब, क्षेत्र $\text{OBMO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4} y d x=\int_{0}^{4} x d x=\frac{1}{2}\left[x^{2}\right]_{0}^{4}=8 ...(iii)$
पुनः क्षेत्र $\text{BMAB}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{4}^{4 \sqrt{2}} y d x=\int_{4}^{4 \sqrt{2}} \sqrt{32-x^{2}} d x$
$=\left[\frac{1}{2} x \sqrt{32-x^{2}}+\frac{1}{2} \times 32 \times \sin ^{-1} \frac{x}{4 \sqrt{2}}\right]_{4}^{4 \sqrt{2}}$
$=\left(\frac{1}{2} 4 \sqrt{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 32 \times \sin ^{-1} 1\right)-\left(\frac{4}{2} \sqrt{32-16}+\frac{1}{2} \times 32 \times \sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$=8 \pi-(8+4 \pi)=4 \pi-8 ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ एवं $(iv)$ का योगफल ज्ञात करने पर हम अभीष्ट क्षेत्रफल $A = 4\pi$ पाते हैं।
$y = x ...(i)$
और $x^{2 }+ y^{2 }= 32 ...(ii)$
समीकरण $(i)$ तथा $(ii)$ को हल करने पर हम पाते हैं कि दिया हुआ वृत्त एवं दी हुई रेखा एक दूसरे को प्रथम चतुर्थांश में $B(4, 4)$ पर मिलते हैं आकृति। $x-$अक्ष के ऊपर $BM$ लम्ब खींचिए।
इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल $=$ क्षेत्र $\text{OBMO}$ का क्षेत्रफल $+$ क्षेत्र $\text{BMAB}$ का क्षेत्रफल
अब, क्षेत्र $\text{OBMO}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{0}^{4} y d x=\int_{0}^{4} x d x=\frac{1}{2}\left[x^{2}\right]_{0}^{4}=8 ...(iii)$
पुनः क्षेत्र $\text{BMAB}$ का क्षेत्रफल
$=\int_{4}^{4 \sqrt{2}} y d x=\int_{4}^{4 \sqrt{2}} \sqrt{32-x^{2}} d x$
$=\left[\frac{1}{2} x \sqrt{32-x^{2}}+\frac{1}{2} \times 32 \times \sin ^{-1} \frac{x}{4 \sqrt{2}}\right]_{4}^{4 \sqrt{2}}$
$=\left(\frac{1}{2} 4 \sqrt{2} \times 0+\frac{1}{2} \times 32 \times \sin ^{-1} 1\right)-\left(\frac{4}{2} \sqrt{32-16}+\frac{1}{2} \times 32 \times \sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$=8 \pi-(8+4 \pi)=4 \pi-8 ...(iv)$
समीकरण $(iii)$ एवं $(iv)$ का योगफल ज्ञात करने पर हम अभीष्ट क्षेत्रफल $A = 4\pi$ पाते हैं।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1वक्रों $ (x, y) : y\ ge\ qx^2$ तथा $y = |x| $ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y^{2 }= 9x, x = 2, x = 4$ एवं $x-$अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3वक्र $y^{2}= x,$ रेखाओं $x = 1, x = 4$ एवं $x-$अक्ष से घिरे क्षेत्र का प्रथम पाद में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 4वक्रों $y = x$ एवं $y = x^2$ के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 6दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल का ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7परवलय $y = x^2$ एवं $y = |x|$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8y = |x + 3| का ग्राफ़ खींचिए एवं $\int_{-6}^{0}|x+3| d x$ का मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9x = 0 एवं x = 2$\pi$ तथा वक्र y = sin x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10प्रथम चतुर्थांश में सम्मिलित एवं $y = 4x^2, x = 0, y = 1$ तथा $y = 4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।View Solution