दर्शाइए कि 5 - $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
example-10
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आइए इसके विपरीत मान लें कि 5 - $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। अर्थात् हम सहअभाज्य ऐसी संख्याएँ a और b(b $\neq$ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 5 - $\sqrt{3}$ = $\frac{a}{b}$ हो।
अत: 5 - $\frac{a}{b}$ = $\sqrt{3}$ है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{3}$ = 5 - $\frac{a}{b}$
चूँक a और b पूर्णांक हैं, इसलिए 5 - $\frac{a}{b}$ एक परिमेय संख्या है अर्थात् $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि 5 - $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 5 - $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अत: 5 - $\frac{a}{b}$ = $\sqrt{3}$ है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{3}$ = 5 - $\frac{a}{b}$
चूँक a और b पूर्णांक हैं, इसलिए 5 - $\frac{a}{b}$ एक परिमेय संख्या है अर्थात् $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि 5 - $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 5 - $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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