$\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
example-9
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आइए हम इसके विपरीत यह मान लें कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है। अर्थात्, हम ऐसे दो पूर्णांक $a$ और $b(\neq 0)$ प्राप्त कर सकते हैं कि $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ है। यदि $a$ और $b$ में, $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो हम उस उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग देकर $a$ और $b$ को सहअभाज्य बना सकते हैं।
अतः $b \sqrt{3} = a$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने तथा पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $3b^{2 }= a^2$ प्राप्त होता है। अतः $a^2, 3$ से विभाजित है। इसलिए, प्रमेय $1.3$ द्वारा $3, a$ को भी विभाजित करेगा।
अतः हम $a = 3c$ लिख सकते हैं, जहाँ $c$ एक पूर्णांक है।
$a$ के इस मान को $3b^{2 }= a^2$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$3b^{2 }= 9c^2$ अर्थात् $b^{2 }= 3c^2$
इसका अर्थ है कि $b^2, 3$ से विभाजित हो जाता है। इसलिए प्रमेय $1.3$ द्वारा $b$ भी $3$ से विभाजित होगा।
अतः $a$ और $b$ में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $3$ है।
परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं।
हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय
संख्या है। अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
अतः $b \sqrt{3} = a$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने तथा पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $3b^{2 }= a^2$ प्राप्त होता है। अतः $a^2, 3$ से विभाजित है। इसलिए, प्रमेय $1.3$ द्वारा $3, a$ को भी विभाजित करेगा।
अतः हम $a = 3c$ लिख सकते हैं, जहाँ $c$ एक पूर्णांक है।
$a$ के इस मान को $3b^{2 }= a^2$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$3b^{2 }= 9c^2$ अर्थात् $b^{2 }= 3c^2$
इसका अर्थ है कि $b^2, 3$ से विभाजित हो जाता है। इसलिए प्रमेय $1.3$ द्वारा $b$ भी $3$ से विभाजित होगा।
अतः $a$ और $b$ में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $3$ है।
परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ और $b$ सहअभाज्य हैं।
हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि $\sqrt{3}$ एक परिमेय
संख्या है। अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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