सिद्ध कीजिए कि 6 + $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Exercise-1.2-3(3)
Download our app for free and get started
इसके विपरीत मान लीजिए कि 6 + $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q $\neq$ 0 है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=6+\sqrt{2}$
और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं।
अत: 6 + $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$
या $\sqrt{2}=\frac{a}{b}-6$
या $\sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b}$
चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 6 भी पूर्णांक है।
इसलिए $\frac{a-6 b}{b}$ एक परिमेय संख्या है जबकि वाया पक्ष $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि $\sqrt{2}$ परिमेय संख्या है।
ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 6 + $\sqrt{2}$
एक परिमेय संख्या है।
अत: 6 + $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ p तथा q दो पूर्णांक है और q $\neq$ 0 है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=6+\sqrt{2}$
और p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित कर एक सह-अभाज्य संख्या a तथा b प्राप्त कर सकते हैं।
अत: 6 + $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$
या $\sqrt{2}=\frac{a}{b}-6$
या $\sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b}$
चूँकि a तथा b पूर्णांक है और 6 भी पूर्णांक है।
इसलिए $\frac{a-6 b}{b}$ एक परिमेय संख्या है जबकि वाया पक्ष $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
इससे एक विरोधाभासी परिणाम प्राप्त होता है कि $\sqrt{2}$ परिमेय संख्या है।
ऐसा विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है कि 6 + $\sqrt{2}$
एक परिमेय संख्या है।
अत: 6 + $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1व्याख्या कीजिए कि 7 $\times$ 11 $\times$ 13 + 13 और 7 $\times$ 6 $\times$ 5 $\times$ 4 $\times$ 3 $\times$ 2 $\times$ 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।View Solution
- 2सिद्ध कीजिए कि $7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।View Solution
- 3सिद्ध कीजिए कि 3 + $2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।View Solution
- 4दर्शाइए कि 5 - $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।View Solution
- 5$\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।View Solution
- 6View Solution4052 और 12576 का HCF यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके ज्ञात कीजिए।
- 7सिद्ध कीजिए कि $ \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।View Solution
- 8सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संख्या है।View Solution