सिद्ध कीजिए कि $ \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Exercise-1.2-1
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इसके विपरीत मान लीजिए कि $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ $p$ तथा $q$ दो पूर्णांक है और $q \neq 0$ है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\sqrt{5}$
यदि p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\sqrt{5}$ = $\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ a और b सहअभाज्य $($co$-$prime$)$ है।
अत:
$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$
या $\sqrt{5} b = a$
दोनों तरफ वर्ग करने पर
$5b^2 = a^2$
या $b^2 = \frac{a^{2}}{5}$
यहाँ $5a^2$ को विभाजित करता है अत: $5a$ को भी विभाजित करेगा। $...(1)$
अत: $a = 5c$ माना [क्योंकि $a-5$ द्वारा विभाजित होता है अर्थात $a$ का $5$ कोई गुणनखंड है।]
$5b^{2 }= a^2$ में $a = 5c$ रखने पर
$\Rightarrow 5b^2 = (5c)^2$
$\Rightarrow 5b^2 = 25c^2$
$\Rightarrow b^2 = 5c^2$
$\Rightarrow c^2 = \frac{b^{2}}{5}$
यहाँ $5b^2$ को विभाजित करता है अत: $5b$ को भी विभाजित करेगा। $...(2)$
समीकरण $(1)$ तथा $(2)$ से हम पाते है कि $5a$ तथा $b$ दोनों को विभाजित करता है जिसमें $5$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ तथा $b$ में $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है।
अत: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
हम किसी भी परिमेय संख्या को $\frac {p}{q}$ के रूप में व्यक्त कर सकते है जहाँ $p$ तथा $q$ दो पूर्णांक है और $q \neq 0$ है।
इसलिए,
$\frac{p}{q}=\sqrt{5}$
यदि p तथा q को उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित करके $\sqrt{5}$ = $\frac{a}{b}$ प्राप्त कर सकते है जहाँ a और b सहअभाज्य $($co$-$prime$)$ है।
अत:
$\sqrt{5}=\frac{a}{b}$
या $\sqrt{5} b = a$
दोनों तरफ वर्ग करने पर
$5b^2 = a^2$
या $b^2 = \frac{a^{2}}{5}$
यहाँ $5a^2$ को विभाजित करता है अत: $5a$ को भी विभाजित करेगा। $...(1)$
अत: $a = 5c$ माना [क्योंकि $a-5$ द्वारा विभाजित होता है अर्थात $a$ का $5$ कोई गुणनखंड है।]
$5b^{2 }= a^2$ में $a = 5c$ रखने पर
$\Rightarrow 5b^2 = (5c)^2$
$\Rightarrow 5b^2 = 25c^2$
$\Rightarrow b^2 = 5c^2$
$\Rightarrow c^2 = \frac{b^{2}}{5}$
यहाँ $5b^2$ को विभाजित करता है अत: $5b$ को भी विभाजित करेगा। $...(2)$
समीकरण $(1)$ तथा $(2)$ से हम पाते है कि $5a$ तथा $b$ दोनों को विभाजित करता है जिसमें $5$ एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
इससे हमारी इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ तथा $b$ में $1$ के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
यह विरोधाभासी परिणाम हमारी गलत कल्पना से प्राप्त हुआ है।
अत: $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
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