एक प्रत्यावर्ती परिपथ में एक कुण्डली का $60$ हर्ट्ज आवृत्ति पर शक्ति गुणांक $0.707$ है। यदि प्रत्यावर्ती स्रोत की आवृत्ति $120$ हर्ट्ज हो जाये, तो शक्ति गुणांक क्या होगा$?$
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हम जानते हैं कि
$\cos \phi=\frac{ R }{ Z }=\frac{ R }{\sqrt{ R ^2+ X _{ L }^2}}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर $\cos ^2 \phi=\frac{ R ^2}{ R ^2+ X _{ L }^2}$
लेकिन दिया गया है $\cos \phi=0.707$
$\therefore \quad(0.707)^2=\frac{ R ^2}{ R ^2+ X _{ L }^2}$
$0.5=\frac{ R ^2}{ R ^2+ X _{ L }^2}$
$\Rightarrow 0.5 R ^2+0.5 X _{ L }^2= R ^2$
$\Rightarrow 0.5 R ^2=0.5 X _{ L }{ }^2$
$\therefore R ^2= X _{ L }{ }^2 $
$\therefore R = X _{ L }$
पुनः $\cos \phi^{\prime}=\frac{ R }{\sqrt{ R ^2+\left( X _{ L }{ }^{\prime}\right)^2}}$
लेकिन दिया गया है $X_L = 2R$ अब आवृत्ति का मान दुगुना हो गया है।
$X_L' = 2R$
$\therefore \cos \phi^{\prime}=\frac{ R }{\sqrt{( R )^2+(2 R )^2}}=\frac{ R }{\sqrt{5 R ^2}}$
$\cos \phi^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos \phi^{\prime}=0.447$
$\therefore$ शक्ति गुणांक $ \cos \phi^{\prime}=0.447$
$\cos \phi=\frac{ R }{ Z }=\frac{ R }{\sqrt{ R ^2+ X _{ L }^2}}$
दोनों तरफ वर्ग करने पर $\cos ^2 \phi=\frac{ R ^2}{ R ^2+ X _{ L }^2}$
लेकिन दिया गया है $\cos \phi=0.707$
$\therefore \quad(0.707)^2=\frac{ R ^2}{ R ^2+ X _{ L }^2}$
$0.5=\frac{ R ^2}{ R ^2+ X _{ L }^2}$
$\Rightarrow 0.5 R ^2+0.5 X _{ L }^2= R ^2$
$\Rightarrow 0.5 R ^2=0.5 X _{ L }{ }^2$
$\therefore R ^2= X _{ L }{ }^2 $
$\therefore R = X _{ L }$
पुनः $\cos \phi^{\prime}=\frac{ R }{\sqrt{ R ^2+\left( X _{ L }{ }^{\prime}\right)^2}}$
लेकिन दिया गया है $X_L = 2R$ अब आवृत्ति का मान दुगुना हो गया है।
$X_L' = 2R$
$\therefore \cos \phi^{\prime}=\frac{ R }{\sqrt{( R )^2+(2 R )^2}}=\frac{ R }{\sqrt{5 R ^2}}$
$\cos \phi^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\cos \phi^{\prime}=0.447$
$\therefore$ शक्ति गुणांक $ \cos \phi^{\prime}=0.447$
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