फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{\sqrt{8+3 x-x^{2}}}$
Exercise-7.4-14
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माना $I=\int \frac{1}{\sqrt{8+3 x-x^{2}}} d x$ $=\int \frac{1}{\sqrt{8-\left[x^{2}-3 x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right.}} d x$
$=\int \frac{1}{\sqrt{8-\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}\right]}} d x$
$=\int \frac{1}{\sqrt{8+\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}} d x$ $=\int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{2}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}} d x$
माना x $-\frac{3}{2}$ = t $\Rightarrow$ dx = dt
$\therefore$ $I=\int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{2}-t^{2}}} d t$ $=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right)$ + C [$\because$ $\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ $=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$]
$=\sin ^{-1}\left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right)+C$ $=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x-3}{\sqrt{41}}\right)$ + C ($\because$ t = x - $\frac{3}{2}$)
$=\int \frac{1}{\sqrt{8-\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}\right]}} d x$
$=\int \frac{1}{\sqrt{8+\frac{9}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}} d x$ $=\int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{2}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}} d x$
माना x $-\frac{3}{2}$ = t $\Rightarrow$ dx = dt
$\therefore$ $I=\int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^{2}-t^{2}}} d t$ $=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right)$ + C [$\because$ $\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ $=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$]
$=\sin ^{-1}\left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right)+C$ $=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x-3}{\sqrt{41}}\right)$ + C ($\because$ t = x - $\frac{3}{2}$)
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