_ ^ e^ x/2 ( x 2 + 4 ) ;dx =

MCQ

$\int_{}^{} {{e^{x/2}}\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\;dx = } $

A
${e^{x/2}}\cos \frac{x}{2} + c$
B
$\sqrt 2 {e^{x/2}}\cos \frac{x}{2} + c$
C
${e^{x/2}}\sin \frac{x}{2} + c$
✓
$\sqrt 2 {e^{x/2}}\sin \frac{x}{2} + c$

✓

Answer

Correct option: D.

$\sqrt 2 {e^{x/2}}\sin \frac{x}{2} + c$

d
(d) Let $I = \int_{}^{} {{e^{x2}}\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)dx} $$ = 2\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\,{e^{x2}} - \int_{}^{} {\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\frac{1}{2}2{e^{x2}}dx + c} $$ = 2\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right){e^{x2}} - 2{e^{x2}}\cos \,\left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) - \int_{}^{} {\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)\frac{1}{2}2{e^{x2}}} $Therefore, $2I = 2{e^{x2}}\left\{ {\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right\}$$ \Rightarrow I = {e^{x2}}\left\{ {\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)} \right\}$ $ = \sqrt 2 {e^{x2}}\left( {\sin \frac{x}{2}} \right) = \sqrt 2 {e^{x2}}\sin \frac{x}{2} + c.$Trick : By inspection,$\frac{d}{{dx}}\left\{ {\sqrt 2 {e^{x2}}\sin \frac{x}{2} + c} \right\} = \sqrt 2 \left[ {\frac{1}{2}{e^{x2}}\cos \frac{x}{2} + \frac{1}{2}{e^{x2}}\sin \frac{x}{2}} \right]$ $ = {e^{x2}}\left[ {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \frac{x}{2} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \frac{x}{2}} \right] = {e^{x2}}\sin \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Need a full question paper?

Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.

Start Generating Free

Explore more

More "MCQ" from 7.1 inderfinite integral→7.1 inderfinite integral — all question types→ગણિત ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board ધોરણ 12 સાયન્સ question papers→Gujarat Board question paper generator→

Similar questions

જો $\vec p$ અને $\vec q$ એ એવા એકમ સદિશો છે કે જેથી $\left[ {\vec p\,\vec q\,\vec p \times \vec q} \right] = \frac{1}{2}$ ,થાય તો $\vec p$ અને $\vec q$ વચ્ચેનો ખૂણો મેળવો.

→

$3$ cards are drawn one-by-one without replacement from a pack of well shuffled pack of $52$ cards, then probability that the first card is a heart, second a queen and third is a king is equal to

→

જો $A$ અને $B$ એ વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જે $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
\alpha &0\\
0&\beta
\end{array}} \right]$ અને $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&\gamma \\
\delta &0
\end{array}} \right]$ ના સ્વરૂપમાં અનુક્રમે આપેલ છે .

વિધાન $-1$ : $AB - BA$ એ હમેશા સામાન્ય શ્રેણિક છે .

વિધાન $-2$ : $AB -BA$ એ એકમ શ્રેણિક શક્ય નથી.

→

જો $y = {t^{10}} + 1$ અને $x = {t^8} + 1,$ તો ${{{d^2}y} \over {d{x^2}}} = . . . . .$

→

જો રેખાઓ

$ \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(2+\lambda) \hat{\mathrm{i}}+(1-3 \lambda) \hat{\mathrm{j}}+(3+4 \lambda) \hat{\mathrm{k}}, \lambda \in \mathbb{R} $

$ \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=2(1+\mu) \hat{\mathrm{i}}+3(1+\mu) \hat{\mathrm{j}}+(5+\mu) \hat{k}, \mu \in \mathbb{R}$

વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $\frac{m}{\sqrt{n}}$ હોય, જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$, તો $m+n$ નું મૂલ્ય ........... છે.

→

વક્ર $ y = Sin x, -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $ અને $ x $-અક્ષ વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ _______ છે.

→

કોઈક વાસ્તવિક અચળાંક $a$ માટે વિધેય $f: R-\{-a\} \rightarrow R$ તથા $f(x)=\frac{a-x}{a+x}$ હોય વધારામાં ધારો કે કોઈક વાસ્તવિક સંખ્યા $x \neq- a$ અને $f( x ) \neq- a$ માટે $( fof )( x )= x$ થાય તો $\left(-\frac{1}{2}\right)$ ની કિમત શોધો

→

ભિન્ન અસમરેખ સદિશ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{d}$ માટે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{d}$ અને $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}= \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{d}$ હોય , તો $.......... .$

→

$\int_{}^{} {\left[ {\log (\log x) + \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \;dx = $

→

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 60 \frac{\sin (6 x)}{\sin x} d x$ ની કિમંત મેળવો.