$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
example-37
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मान लीजिए कि $\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} $log sin x dx
तब $\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x$ = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x$
I, के दोनों मानों को जोड़ने पर हम पाते हैं
$2 \mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ (log sin x + log cos x)dx
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ (log sin x cos x + log 2 − log 2) dx (log 2 जोड़ने एवं घटाने पर)
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2 x d x$ $-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log 2 d x$
प्रथम समाकलन में 2x = t रखने पर 2dx = dt जब x = 0 तो t = 0 और जब $x=\frac{\pi}{2}$ तो t = $\pi$
इसलिए $2 \mathrm{I}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi}$ log sin t dt$-\frac{\pi}{2} \log 2$
$=\frac{2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} $ log sin t dt$-\frac{\pi}{2} \log 2$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ log sin x dx $-\frac{\pi}{2} \log 2$ (चर t को x में परिवर्तित करने पर)
$=\mathrm{I}-\frac{\pi}{2} \log 2 $
अतः $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x$ $=\frac{-\pi}{2} \log 2$
तब $\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x$ = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x$
I, के दोनों मानों को जोड़ने पर हम पाते हैं
$2 \mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ (log sin x + log cos x)dx
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ (log sin x cos x + log 2 − log 2) dx (log 2 जोड़ने एवं घटाने पर)
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2 x d x$ $-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log 2 d x$
प्रथम समाकलन में 2x = t रखने पर 2dx = dt जब x = 0 तो t = 0 और जब $x=\frac{\pi}{2}$ तो t = $\pi$
इसलिए $2 \mathrm{I}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi}$ log sin t dt$-\frac{\pi}{2} \log 2$
$=\frac{2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} $ log sin t dt$-\frac{\pi}{2} \log 2$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ log sin x dx $-\frac{\pi}{2} \log 2$ (चर t को x में परिवर्तित करने पर)
$=\mathrm{I}-\frac{\pi}{2} \log 2 $
अतः $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x$ $=\frac{-\pi}{2} \log 2$
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