$\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d\ x$ का मान ज्ञात कीजिए।
example-14
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$\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}$ को लीजिए और $x^{2 }= y$ रखिए
तब $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} =\frac{y}{(y+1)(y+4)}$
$\frac{y}{(y+1)(y+4)}$
$=\frac{\mathrm{A}}{y+1} +\frac{\mathrm{B}}{y+4}$ के रूप में लिखिए
ताकि $y = A (y + 4) + B (y + 1)$
दोनों पक्षों से $y$ के गुणांकों एवं अचर पदों की तुलना करने पर हम पाते हैं $A + B = 1$ और $4A + B = 0$, जिससे प्राप्त होता है
$A=-\frac{1}{3}$ और $B=\frac{4}{3}$
अतः $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} =-\frac{1}{3\left(x^{2}+1\right)}+\frac{4}{3\left(x^{2}+4\right)}$
इसलिए $\int \frac{x^{2} d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}=-\frac{1}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+1}+\frac{4}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+4}$
$=-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x +\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+\mathrm{C}$
$=-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x+\frac{2}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+C$
तब $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} =\frac{y}{(y+1)(y+4)}$
$\frac{y}{(y+1)(y+4)}$
$=\frac{\mathrm{A}}{y+1} +\frac{\mathrm{B}}{y+4}$ के रूप में लिखिए
ताकि $y = A (y + 4) + B (y + 1)$
दोनों पक्षों से $y$ के गुणांकों एवं अचर पदों की तुलना करने पर हम पाते हैं $A + B = 1$ और $4A + B = 0$, जिससे प्राप्त होता है
$A=-\frac{1}{3}$ और $B=\frac{4}{3}$
अतः $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} =-\frac{1}{3\left(x^{2}+1\right)}+\frac{4}{3\left(x^{2}+4\right)}$
इसलिए $\int \frac{x^{2} d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}=-\frac{1}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+1}+\frac{4}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+4}$
$=-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x +\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+\mathrm{C}$
$=-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x+\frac{2}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+C$
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