Question 12 Marks
फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^{2} x}} $
Answerमाना $I = \int \frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^{2} x}} d x$
$\sin x = t$ रखने पर,
$\Rightarrow \cos x dx = dt$
$\therefore I=\int \frac{\cos x}{\sqrt{4-t^{2}}} \frac{d t}{\cos x}$
$=\int \frac{1}{\sqrt{4-t^{2}}} d t =\sin ^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)+C\ [\because \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)]$
$= \sin^{-1} \left(\frac{\sin x}{2}\right) + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}}$
Answer$\int \frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}} d x $
$=\int \frac{e^{\log x^{5}}-e^{\log x^{4}}}{e^{\log x^{3}}-e^{\log x^{2}}} d x $
$=\int \frac{x^{5}-x^{4}}{x^{3}-x^{2}} d x\ (\because e^{\log x} = x)$
$=\int \frac{x^{4}(x-1)}{x^{2}(x-1)} d x^{ } =\int x^{2} d x=\frac{1}{3} x^{3} + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए-
$\frac{\sin x}{\sin (x-a)}$
Answer$\int \frac{\sin x}{\sin (x-a)} d x$ $=\int \frac{\sin \{(x-a)+a\}}{\sin (x-a)} d x$
$=\int \frac{\sin (x-a) \cos a+\cos (x-a) \sin a}{\sin (x-a)} d x$ [$\because$ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]
$=\int \frac{\sin (x-a) \cos a}{\sin (x-a)} d x$ $+\int \frac{\cos (x-a) \sin a}{\sin (x-a)} d x$
= cos a $\int$ 1dx + sin a $\int$cot (x - a)| + C
= (cos a)x + sin a $\cdot$ log |sin (x - a)| + C
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सिद्ध कीजिए $\int_{0}^{\frac\pi 2} \sin^{3 }x dx = \frac{2}{3}$
Answerमाना $I = \int_{0}^{\frac\pi 2} \sin^3 x dx = \int_{0}^{\frac\pi 2} \sin^{2 }x \sin x dx$
$= \int_{0}^{\frac\pi 2} (1 - \cos^2 x) \sin x dx (\because \sin^2 x = 1 - \cos^2x)$
$\cos x = t$ रखने पर,
$\Rightarrow -\sin x dx = dt$
जब $x = 0$
$\Rightarrow t = \cos 0 = 1,$ जब $x = \frac{\pi}{2} $
$\Rightarrow t = \cos \frac{\pi}{2} = 0$
$\therefore I =\int_{0}^{\frac\pi 2} (1 - \cos^2 x) \sin x dx = \int_{1}^{0}(1 - t^2) (-dt)$
$=-\left[t-\frac{t^{3}}{3}\right]_{1}^{0} =-\left\{(0-0)-\left(1-\frac{1}{3}\right)\right\}=\frac{2}{3}$
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सिद्ध कीजिए $\int_{-1}^{1} x^{17} \cos^4x dx = 0$
Answerमाना $f(x) = x^{17} \cos^4x,$
$\Rightarrow f(-x) = (-x)^{17} \cos^4(-x) = - x^{17} \cos^4 x = - f(x)$
अतः $f(x)$ एक विषम फलन है।
हम जानते हैं कि यदि $f(x)$ एक विषम फलन हो, तो $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$
$\therefore \int_{-1}^{1} x^{17 }\cos^{4 }x dx = 0$
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सिद्ध कीजिए $\int_{0}^{1} xe^x dx = 1$
Answer$\int_{0}^{1} xe^{x }dx$
$x$ को पहला तथा $e^x$ को दूसरा फलन लेकर खण्डश: समाकलन करने पर,
$= [x\in te^{x }dx − \int1⋅e^{x }dx]_{0}^{1}$
$= [xe^x - e^x]_{0}^{1} = [e^x(x - 1)]_{0}^{1}$
$= e(1 -1) - e^0(0 - 1) = 0 + 1 = 1$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x} e^{x}$
Answerमाना $I=\int \frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x} e^{x} d x =\int\left(\frac{2}{1+\cos 2 x}+\frac{\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\right) e^{x} d x$
$=\int\left(\frac{2}{2 \cos ^{2} x}+\frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos ^{2} x}\right) \cdot e^{x} d x\ (\because 1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ तथा $\sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}+\tan x\right)e^xdx = \int(\tan x + sec^2 x)e^{x }dx$
$f(x) = \tan x$ रखने पर,
$\Rightarrow f'(x) = sec^2x\ [\because\int[f(x) + f'(x)] e^{x }dx = e^xf(x) + C]$
$\therefore I = \tan x e^x + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- f\ '(ax + b) [f(ax + b)^n]$
Answerमाना $I = \in tf'(ax + b) [f(ax + b)]^n dx$
$f(ax + b) = t$ रखने पर,
$\Rightarrow f(ax + b) adx = dt $
$\Rightarrow dx = \frac{d t}{a f^{\prime}(a x+b)}$
$\therefore I=\int f^{\prime}(a x+b) t^{n} \frac{d t}{f^{\prime}(a x+b) a}$
$=\frac{1}{a} \int t^{n} d t=\frac{1}{a}\left(\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)+C =\frac{1}{a} \cdot \frac{[f(a x+b)]^{n+1}}{n+1}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- e^{3 \log x}(x^4 + 1)^{-1}$
Answerमाना $I = \in te^{3 \log x}(x^4 + 1)^{-1} dx =\int \frac{e^{\log x^{3}}}{\left(x^{4}+1\right)} d x =\int \frac{x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)} d x \ (\because e^{\log x }= x)$
$x^4 + 1 = t$ रखने पर,
$\Rightarrow 4x^3dx = dt $
$\Rightarrow dx =\frac{dt}{4x^3}$
$\therefore I=\int \frac{x^{3}}{t} \frac{d t}{4 x^{3}} =\frac{1}{4} \int \frac{1}{t} d t $
$=\frac{1}{4} \log |t|+C=\frac{1}{4} \log \left|x^{4}+1\right| + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \cos^3 x e^{\log \sin x}$
Answerमाना $I = \in t\cos^3 xe^{\log \sin x} dx = \in t(\cos x)^3 \sin x dx\ (\because e^{\log x }= x)$
$= - \in t(\cos x)^3 (- \sin x)dx$
$\cos x = t$ रखने पर,
$\Rightarrow - \sin x dx = dt$
$\therefore$ I =$-\int t^{3} d t =-\frac{t^{4}}{4}+C =-\frac{\cos ^{4} x}{4}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}$
Answer$\int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x$
माना $\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} =\frac{(A x+B)}{x^{2}+1}+\frac{(C x+D)}{x^{2}+4}$
$\Rightarrow 1 = (Ax + B)(x^2 + 4) + (Cx + D)(x^2 + 1)$
दोनों पक्षों में $x^3, x^2, x$ तथा अचर राशि के गुणांकों की तुलना करने पर,
$A + C = 0, B + D = 0, 4A + C = 0$ तथा $4B + D = 1$
इन समीकरणों को हल करने पर$, A = 0, C = 0, B = \frac{1}{3}$ और $D = -\frac{1}{3}$
$\therefore \int \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x =\frac{1}{3} \int\left[\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)}-\frac{1}{\left(x^{2}+4\right)}\right] d x$
$=\frac{1}{3}\left\{\tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)\right\}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)\left(2+e^{x}\right)}$
Answerमाना $I=\int \frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)\left(2+e^{x}\right)} d x$
$e^x = t$ रखने पर
$\Rightarrow e^xdx = dt $
$\therefore I=\int \frac{e^{x}}{(1+t)(2+t)} \frac{d t}{e^{x}} =\int \frac{1}{(1+t)(2+t)} d t$
माना $\frac{1}{(1+t)(2+t)} =\frac{A}{(1+t)}+\frac{B}{(2+t)}$
$\Rightarrow 1 = A(2 + t) + B(1 + t) $
$= (2A + B) + t(A + B)$
दोनों पक्षों में $t$ तथा अचर राशि के गुणांकों को समान रखने पर,
$A + B = 0$ तथा $2A + B = 1$
दोनों समीकरणों को हल करने पर$, A = 1$ और $B = -1$
$\therefore I=\int \frac{1}{(1+t)} d t-\int \frac{1}{(2+t)} d t $
$= \log |1 + t| − \log |2 + t| + C$
$=\log \left|\frac{1+t}{2+t}\right|+C $
$=\log \left|\frac{1+e^{x}}{2+e^{x}}\right|+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}$
Answerमाना $I=\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}} d x$
$x^4 = t$ रखने पर,
$\Rightarrow 4x^3dx = dt $
$\Rightarrow dx = \frac{d t}{4 x^{3}}$
$\therefore I=\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1-t^{2}}} \frac{d t}{4 x^{3}} $
$=\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}} d t$
$=\frac{1}{4} \sin ^{-1} t+C \left[\because \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]$
$= \frac{1}{4}\sin^{-1}(x^4) + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए $- \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}$
Answer$\int \frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x =\int \frac{\left\{\left(\sin ^{4} x\right)^{2}-\left(\cos ^{4} x\right)^{2}\right\}}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x$
$=\int \frac{\left(\sin ^{4} x-\cos ^{4} x\right)\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x\ [\because a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)]$
$=\int \frac{\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\left[\left(\sin ^{2} x\right)^{2}+\left(\cos ^{2} x\right)^{2}\right]}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x$
$=\int \frac{\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right) 1\left\{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{2}-2 \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x\right\}}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x\ [\because \sin^2x + \cos^2 x = 1$ तथा $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab]$
$=\in t \frac{-\cos 2 x\left(1-2 \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x\right)}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x \ (\because \cos 2x = \cos^2x - \sin^2 x)$
$= \in t\cos 2x \ dx =-\frac{\sin 2 x}{2} + C$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$
Answer$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\left[\sin ^{-1} x\right]_{0}^{1} \left(\because \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x\right)$
$= \sin^{-1} 1 - \sin^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{\frac\pi 6}^{\frac\pi 4} \operatorname{cosec} $ x dx
Answer$I=\int_{\frac\pi 6}^{\frac\pi 4} \operatorname{cosec} x d x$ $=[\log |\operatorname{cosec} x-\cot x|]_{\frac\pi 6}^{\frac\pi 4}$
$=\log \left|\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4}-\cot \frac{\pi}{4}\right|$ $-\log \left|\operatorname{cosec} \frac{\pi}{6}-\cot \frac{\pi}{6}\right|$
$=\log |\sqrt{2}-1|-\log |2-\sqrt{3}|$ $=\log \left|\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{3}}\right|$ ($\because$ log a - log b = log$\frac{a}{b}$)
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:$ \int_{0}^{\frac\pi 4} \tan x dx$
Answer$\int_{0}^{\frac\pi 4} \tan x d x =[-\log |\cos x|]_{0}^{\frac\pi 4} =-\log \left|\cos \frac{\pi}{4}\right|- (-\log |\cos 0|)$
$=-\log \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \log 1 = -\log 2^{-\frac1 2} + 0 (\because \log 1 = 0$ और $\log m^n = n \log m)$
$=\frac{1}{2} \log 2$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{4}^{5}e^xdx$
Answer$\int_{4}^{5} e^{x} d x=\left[e^{x}\right]_{4}^{5}= (e^5 - e^4) = e^4(e - 1)$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\frac\pi 2}$cos 2x dx
Answer$\int_{0}^{\frac\pi 2} \cos 2 x d x=\left[\frac{\sin 2 x}{2}\right]_{0}^{\frac\pi 2}$ ($\because$ $\int$cos a x dx = $\frac{sin a x}{a}$)
$=\frac{1}{2}[\sin 2 x]_{0}^{\frac\pi 2}$ $=\frac{1}{2}\left[\left(\sin 2 \times \frac{\pi}{2}\right)-\sin (0)\right]$ $=\frac{1}{2}$ (0 - 0) = 0
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\frac\pi 4}$sin 2x dx
Answerमाना $I=\int_{0}^{\frac\pi 4}$ sin 2x dx = $I=\int_{0}^{\frac\pi 4}$ 2 sin x cos x dx ($\because$ sin 2x = 2 sin x cos x)
sin x = t रखने पर,
$\Rightarrow$ $\cos x=\frac{d t}{d x} $ $\Rightarrow d x=\frac{d t}{\cos x}$
उच्च सीमा $x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow t$ $=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
निम्न सीमा x = 0 $\Rightarrow$ t = sin 0 = 0
$\therefore$ $I=2 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} t \cos x \frac{d t}{\cos x}$ $=2 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} t d t=2\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1 / \sqrt{2}}$ = $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x^2 + 6x + 9)dx$
Answerमाना $I = \int_{1}^{2} (4x^3 - 5x^2 + 6x + 9)dx$
$=\left[\frac{4 x^{4}}{4}-\frac{5 x^{3}}{3}+\frac{6 x^{2}}{2}+9 x\right]_{1}^{2}$ $=\left[x^{4}-\frac{5 x^{3}}{3}+3 x^{2}+9 x\right]_{1}^{2}$
$=\left[(2)^{4}-\frac{5(2)^{3}}{3}+3(2)^{2}+9(2)\right]-$ $\left[(1)^{4}-\frac{5(1)^{3}}{3}+3(1)^{2}+9(1)\right]$
$=\left(16-\frac{40}{3}+12+18\right)$ $-\left(1-\frac{5}{3}+3+9\right)$
$=\left(46-\frac{40}{3}\right)-\left(13-\frac{5}{3}\right)$ $=\left(\frac{138-40}{3}\right)-\left(\frac{39-5}{3}\right)$
$=\frac{98}{3}-\frac{34}{3}=\frac{64}{3}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x$
Answerमाना $I=\int_{2}^{3} \frac{1}{x} d x=[\log x]_{2}^{3}$ $=\log 3-\log 2=\log \frac{3}{2}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए : $\int_{0}^{2} \frac{6 x+3}{x^{2}+4} d x$
Answerमाना $I=\int_{0}^{2} \frac{6 x+3}{x^{2}+4} d x $
$=\int_{0}^{2} \frac{6 x}{x^{2}+4} d x+\int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2}+4} d x$
$x^2 + 4 = t$ रखने पर,
$\Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} $
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
निम्न सीमा, जब $x = 0, t = 0 + 4 = 4$
उच्च सीमा, जब $x = 2, t = 4 + 4 = 8$
$\therefore I=\int_{4}^{8} \frac{6 x}{t} \frac{d t}{2 x}+\int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2}+4} d x =3 \int_{4}^{8} \frac{1}{t} d t+3 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+2^{2}} d x$
$=3[\log t]_{4}^{8} +\frac{3}{2}\left[\tan ^{-1} \frac{x}{2}\right]_{0}^{2} \ (\because \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a})$
$= 3[\log(8) − \log(4)] +\frac{3}{2}\left(\tan ^{-1} \frac{2}{2}\right)$
$=3 \log \left(\frac{8}{4}\right)+\frac{3}{2} \times \frac{\pi}{4} \ (\because \log b - \log a = \log\frac{b}{a})$
$=3 \log 2+\frac{3 \pi}{8}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}-\cos ^{2} \frac{x}{2}\right) d x$
Answer$\int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}-\cos ^{2} \frac{x}{2}\right) d x =-\int_{0}^{\pi}\left(\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}\right) d x$
$=-\int_{0}^{\pi} \cos x dx (\because \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2x)$
$=-[\sin x]_{0}^{\pi} = - [\sin \pi - \sin 0] = 0$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\frac\pi 4} (2 sec^2 x + x^3 + 2)dx$
Answer$\int_{0}^{\frac\pi 4}\left(2 \sec ^{2} x+x^{3}+2\right) d x$ $=2 \int_{0}^{\frac\pi 4} \sec ^{2} x d x+\int_{0}^{\frac\pi 4} x^{3} d x+2 \int_{0}^{\frac\pi 4} 1 d x$
$=2[\tan x]_{0}^{\frac\pi 4}+\frac{1}{4}\left[x^{4}\right]_{0}^{\frac\pi 4}+2[x]_{0}^{\frac\pi 4}$
$=2 \tan \frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{4}+2\left(\frac{\pi}{4}\right)$ $=2+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi^{4}}{1024}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$
Answerमाना $I=\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x$
$x^2 = t$ रखने पर,
$\Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
सीमाएँ जब $x = 0 \Rightarrow t = 0$ और जब $x = 1 \Rightarrow t = 1$
$\therefore I=\int_{0}^{1} x e^{t} \frac{d t}{2 x}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} d t=\frac{1}{2}\left[e^{t}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\left(e^{1}-e^{0}\right)=\frac{1}{2}(e-1)$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x$
Answerमाना $I=\int_{2}^{3} \frac{x}{x^{2}+1} d x$
$x^2 + 1 = t$ रखने पर, $\Rightarrow 2x =\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
$\therefore I=\int_{2}^{3} \frac{x}{t} \frac{d t}{2 x}=\frac{1}{2} \int_{2}^{3} \frac{1}{t} d t =\frac{1}{2}[\log |t|]_{2}^{3}=\frac{1}{2}\left[\log \left|x^{2}+1\right|\right]_{2}^{3} (\because t = x^2 + 1)$
$=\frac{1}{2} = [\log |3^2 + 1| − \log |2^2 + 1|]$
$=\frac{1}{2}[\log |10|-\log |5|] =\frac{1}{2} \log \left|\frac{10}{5}\right|=\frac{1}{2} \log 2 (\because \log a - \log b = \log \frac{a}{b})$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{\frac\pi 2} \cos ^{2} x d x$
Answer$ \int_{0}^{\frac\pi 2} \cos ^{2} x d x =\int_{0}^{\frac\pi 2}\left(\frac{\cos 2 x+1}{2}\right) d x (\because \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1)$
$=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac\pi 2} \cos 2 x d x+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac\pi 2} 1 d x =\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 2 x}{2}\right]_{0}^{\frac\pi 2}+\frac{1}{2}[x]_{0}^{\frac\pi 2}$
$=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\sin \pi}{2}-\frac{\sin 0}{2}\right)+\left(\frac{\pi}{2}-0\right)\right] =\frac{\pi}{4}+0-0=\frac{\pi}{4}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}-1} d x$
Answer$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^{2}-1} d x$ $=\left[\frac{1}{2} \log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right]_{2}^{3}$ $\left(\because \int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|\right)$
$=\frac{1}{2} \log \left|\frac{3-1}{3+1}\right|-\frac{1}{2} \log \left|\frac{2-1}{2+1}\right|$ $=\frac{1}{2} \log \left|\frac{2}{4}\right|-\frac{1}{2} \log \left|\frac{1}{3}\right|$
= $\frac{1}{2}$ [log (1) - log (2) - log (1) + log (3)] [$\because$ log$\left(\frac{a}{b}\right)$ = log a - log b]
$=\frac{1}{2} \log \left(\frac{3}{2}\right)$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x$
Answer$ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x=\left[\tan ^{-1} x\right]_{0}^{1} \left(\because \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x\right)$
$= \tan^{-1} - \tan^{-1} 0 = \frac{\pi}{4}$
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निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1}$ (x + 1)dx
Answerमाना $I=\int_{-1}^{1}(x+1) d x=\left[\frac{x^{2}}{2}+x\right]_{-1}^{1}$ $=\left[\frac{1^{2}}{2}+1\right]-\left[\frac{(-1)^{2}}{2}-1\right]$
$\Rightarrow$ $I=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}=2$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\sqrt{4 - x^2}$
Answerमाना $ I=\int \sqrt{4-x^{2}} d x$ $=\int \sqrt{2^{2}-x^{2}} d x$ $=\frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}}+\frac{4}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{2}+C$ $(\because \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$ $=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}+C)$
$\Rightarrow$ $I=\frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}}+2 \sin ^{-1} \frac{x}{2}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $x^{2 }\log x dx$
Answer$\log x$ को पहला और $x^2$ को दूसरा फलन लेकर खण्डश: समाकलन करने पर, $(\because \log$ फलन बीजगणितीय फलन $\text{ILATE}$ में पहले आता है।$)$
$I = in tx^{2 }logx dx = \log x \int x^{2 }dx -\int\left[\frac{d}{d x}(\log x) \int x^{2} d x\right] d x$
$=\frac{x^{3}}{3} \log x-\int\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3}\right) d x =\frac{x^{3}}{3} \log x-\frac{1}{3} \int x^{2} d x=\frac{x^{3}}{3} \log x-\frac{x^{3}}{9} + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: x log 2x dx
Answerlog 2x को पहला फलन और x को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर, ($\because$ log फलन बीजगणितीय फलन ILATE में पहले आता है।)
I = $∫$x log 2x dx = log 2x $∫$ xdx $-\int\left[\frac{d}{d x}(\log 2 x) \int x d x\right] d x$
$=\frac{x^{2}}{2} \log 2 x$ $-\int\left(\frac{1}{2 x} \times 2 \times \frac{x^{2}}{2} d x\right)$ $=\frac{x^{2} \log 2 x}{2}-\frac{1}{2} \int x d x$
$\Rightarrow$ $I=\frac{x^{2}}{2} \log 2 x$ $-\frac{1}{4} x^{2}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: x log x dx
Answerमाना I = $\int$x log x dx
log x को पहला तथा x को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,
($\because$ log फलन बीजगणितीय फलन ILATE में पहले आता है।)
I = log x $∫$x dx $-\int\left[\frac{d}{d x}(\log x) \int x d x\right] d x$
$=\frac{x^{2} \log x}{2}-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} x^{2} d x$ $=\frac{x^{2} \log x}{2}-\frac{1}{2} \int x d x$ $ \Rightarrow I=\frac{x^{2} \log x}{2}-\frac{1}{4} x^{2}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $x^2e^xdx$
Answerमाना $I = \ intx^2e^xdx$
$x^2$^ को पहला तथा $e^x $ को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,
$I=x^{2} \int e^{x} d x -\int\left[\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right) \int e^{x} d x\right] d x =x^{2} e^{x}-\int\left(2 x e^{x}\right) d x$
पुनः खण्डशः समाकलन करने पर,
$I = x^{2} e^{x}-\left\{2 x \int e^{x} d x-2 \int\left[\frac{d}{d x}(x) \int e^{x} d x\right] d x\right\} $
$= x^2e^x - 2xe^x + 2 \int e^xdx$
$= x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$
$\Rightarrow I = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{x-3}{(x-1)^{3}} e^{x}$
Answerमाना $I=\int \frac{x-3}{(x-1)^{3}} e^{x} d x =\int \frac{x-1-2}{(x-1)^{3}} e^{x} d x$
$=\int e^{x}\left[\frac{x-1}{(x-1)^{3}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}\right] d x$
$=\int e^{x}\left[\frac{1}{(x-1)^{2}}-\frac{2}{(x-1)^{3}}\right] d x$
माना $f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{-2}{(x-1)^{3}}$
$\therefore I=\frac{e^{x}}{(x-1)^{2}}+C [\because \int e^x{f(x) + f'(x)} dx = e^x f(x)]$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: x sin 3x dx
Answerमाना I = $\int$x sin 3x dx
x को पहला फलन तथा sin 3x को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,
I = x $∫$sin 3x dx $-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sin 3 x d x\right] d x $
$=\frac{-x \cos 3 x}{3}+\int \frac{\cos 3 x}{3} d x$ ($\because$ $\int$sin ax dx = $\frac{-cos a x}{a}$)
$\Rightarrow I=\frac{-x \cos 3 x}{3}$ $+\frac{1}{9} \sin 3 x+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $e^{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)$
Answerमाना $I=\int e^{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right) d x$
माना $f(x)=\frac{1}{x} \Rightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}$
यहाँ, दिया गया समाकलन $\int e^x[f(x) + f'(x) dx = e^{x }f(x)$ रूप का है
$\therefore$ $I=\frac{e^{x}}{x}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $x sec^2 x$
Answerमाना $I = \int x sec^{2 }x dx$
$x$ को पहला फलन तथा $sec^2x$ को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,
$I = x\int \sec^{2 }x dx -\int \left[\frac{d}{d x}(x) \int \sec ^{2} x d x\right] d x $
$= \tan x - \int \tan x dx = x \tan x - \log |sec x| + C$
$\Rightarrow I = x \tan x + \log |\cos x| + C [\log |\sec x|=\log \left|\frac{1}{\cos x}\right| = \log 1 − \log |\cos x| = −\log |\cos x|(\because \log = 0)]$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: x sin x dx
Answerमाना I = $\int$sinx$\cdot$x dx
x को पहला फलन और sin x को दूसरा फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर,
$I=x \int \sin x d x$ $-\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \sin x d x\right] d x $
= - x cos x + $\int$1$\cdot$cos x dx
I = - x cos x + sin x + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+4}}$
Answer$\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+4}} d x$
माना $\tan x = t \Rightarrow sec^2 x =\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{\sec ^{2} x}$
$\therefore \int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{\tan ^{2} x+4}} d x =\int \frac{\sec ^{2} x}{\sqrt{t^{2}+4}} \frac{d t}{\sec ^{2} x} =\int \frac{d t}{\sqrt{t^{2}+2^{2}}}$
$=\log \left|t+\sqrt{t^{2}+4}\right|+C (\because \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|)$
$=\log \left|\tan x+\sqrt{\tan ^{2} x+4}\right| + C (\because t = \tan x)$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^{2}+x-3}}$
Answerमाना $2x^2 + x - 3 = t$
$\Rightarrow 4 x+1=\frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{4 x+1}$
$\therefore \int \frac{4 x+1}{\sqrt{2 x^{2}+x-3}} d x =\int \frac{4 x+1}{\sqrt{t}} \times \frac{d t}{4 x+1} =\int \frac{1}{\sqrt{t}} d t=2 \sqrt{t}+C$
$=2 \sqrt{2 x^{2}+x-3}+C (\because t = 2x^2 + x - 3)$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{3 x^{2}}{x^{6}+1}$
Answer$\int \frac{3 x^{2}}{x^{6}+1} d x =\int \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}\right)^{2}+1} d x$
माना $x^{3 }= t$
$\Rightarrow 3x^2 =\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{3 x^{2}}$
$\therefore \int \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}\right)^{2}+1} d x=\int \frac{3 x^{2}}{t^{2}+1} \cdot \frac{d t}{3 x^{2}} =\int \frac{d t}{t^{2}+1}=\frac{1}{1} \tan ^{-1}\left(\frac{t}{1}\right) + C = \tan^{−1 }(x^3) + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos x}{1+\cos x}$
Answer$\int \frac{\cos x}{1+\cos x} d x =\int \frac{1-1+\cos x}{1+\cos x} d x ($अंश में $1$ घटाने और जोड़ने पर$)$
$=\int \frac{1+\cos x}{1+\cos x} d x -\int \frac{1}{1+\cos x} d x$
$= \int1 dx - \int \frac{1}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} d x =\int 1 d x-\frac{1}{2} \int \sec ^{2} \frac{x}{2} d x$
$=x-\frac{1}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2}+C =x-\tan \frac{x}{2} + C (\because \int \sec^2 ax dx = \frac{\tan ax}{a})$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{(1-\cos x)}{(1+\cos x)}$
Answer$\int \frac{(1-\cos x)}{(1+\cos x)} d x =\int \frac{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}} d x =\int \tan ^{2} \frac{x}{2} d x (\because 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} तथा 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2})$
$=\int\left(\sec ^{2} \frac{x}{2}-1\right) d x (\because \tan^2 \theta = sec^2 \theta - 1)$
$=\int \sec ^{2} \frac{x}{2} d x -\int 1 d x=\frac{\tan \frac{x}{2}}{\frac{1}{2}} - x + C (\because \int \sec^2ax dx = \frac{\tan ax}{a})$
$=2 \tan \frac{x}{2} - x + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: sin 4x sin 8x
Answer$\int$sin 4x sin 8x dx = $\frac{1}{2}$ $\int$2 sin 8x sin 4x dx
$=\frac{1}{2}$ $\int$cos 4x - cos 12x)dx [$\because$ 2 sin A sin B = cos (A - B) - cos(A + B)]
$=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin 4 x}{4}-\frac{\sin 12 x}{12}\right)$ + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\sin^{3 }(2x + 1)$
Answer$\int \sin^{3 }(2x + 1)dx = \int \sin^{2 }(2x + 1)\cdot \sin (2x + 1)dx$
$= \int[1 - \cos^2 (2x + 1) \sin (2x + 1)dx (\because \sin^2 x = 1 - \cos^2 x)$
माना $\cos (2x + 1) = t$
$\Rightarrow - 2sin (2x + 1)dx = dt \Rightarrow \sin (2x + 1)dx = -\frac{dt}{2}$
$\therefore \int \sin^{3 }(2x + 1)dx =\frac{-1}{2} \int\left(1-t^{2}\right) d t =\frac{-1}{2}\left(t-\frac{t^{3}}{3}\right) + C$
$=\frac{-1}{2}\left[\cos (2 x+1)-\frac{\cos ^{3}(2 x+1)}{3}\right] +C=\frac{-\cos (2 x+1)}{2} +\frac{\cos ^{3}(2 x+1)}{6}+C$
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फलन का का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\sin^{-1} (\cos x)$
Answer$\int \sin^{−1 }(\cos x)dx =\int\left\{\frac{\pi}{2}-\cos ^{-1}(\cos x)\right\}dx (\because \sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2} |t| \leq1)$
$=\int\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x =\frac{\pi}{2} x-\frac{x^{2}}{2}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos 2 x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}$
Answer$\int \frac{\cos 2 x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x =\int \frac{1-2 \sin ^{2} x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x (\because \cos 2x = 1 - 2sin^2x)$
$=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x = \int \sec^2x dx = \tan x + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}$
Answer$\int {\frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx} $ $= \int {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} dx +\int \frac{{{{\cos }^3}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}dx}$
$ = \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x\cos x}}dx+ \int\frac{{\cos x}}{{\sin x\sin x}}dx} $
$ = \int {\left( {\tan x\cdot\sec x + \cot x\cdot\cos ecx} \right)dx} $ = sec x - cosec x + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\tan^3 2x sec 2x$
Answer$\int \tan^3 2x \sec 2x dx$
माना $\sec 2x = t \Rightarrow 2 \sec 2x \tan 2x =\frac{dt}{dx} \Rightarrow dx = \frac{dt}{2 \sec 2x \cdot \tan 2x}$
$\therefore \int \tan^3 2x \sec 2x dx = \int \tan^3 2x \sec 2x \frac{dt}{2 \sec 2x \cdot \tan 2x}$
$= \frac{1}{2} \int \tan^2 2x dt = \frac{1}{2}\int(\sec^2 2x - 1)dt (\because \tan^2 x = \sec^2 x - 1)$
$=\frac{1}{2} \int\left[\left(t^{2}-1\right) d t\right] =\frac{1}{2}\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right) + C$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{\\sec ^{3} 2 x}{3}-\sec 2 x\right) + C$
$=\frac{1}{6} \sec ^{3} 2 x-\frac{1}{2} \sec 2 x + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}$
Answerमाना $I = \int \frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x} d x =\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x} d x (\because \sin^2 x + \cos^2 x = 1, \sin 2x = 2 \sin x \cos x)$
$=\int \frac{\cos x-\sin x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x $
माना $\cos x + \sin x = t $
$\Rightarrow − \sin x + \cos x = \frac{dt}{dx}\Rightarrow d x=\frac{d t}{(\cos x-\sin x)}$
$\therefore I=\int \frac{\cos x-\sin x}{t^{2}} \cdot \frac{d t}{(\cos x-\sin x)}$
$=\int \frac{1}{t^{2}} d t =\int t^{-2} d t=\frac{t^{-2+1}}{-2+1} + C =\frac{-1}{\cos x+\sin x}+ C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\sin ^{2} x}{(1+\cos x)}$
Answer$\int \frac{\sin ^{2} x}{(1+\cos x)} d x =\int \frac{\left(1-\cos ^{2} x\right)}{(1+\cos x)} d x (\because \sin^2 x = 1 - \cos^2x)$
$=\int \frac{(1+\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)} d x = \int(1 − \cos x)dx = \int1dx − \int \cos x dx$
$= x - \sin x + C$
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फलन का समाकलन कीजिए: $\int(4x + 2) \sqrt{x^{2}+x+1} d x$
Answerमाना I $= \int(4x + 2) \sqrt{x^{2}+x+1} d x$
माना $x^{2 }+ x + 1 = t$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2 x+1=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x =\frac{d t}{(2 x+1)} $
$\therefore I = \int(4x + 2) \sqrt{t} \frac{d t}{(2 x+1)} =\int 2(2 x+1) \sqrt{t} \frac{d t}{(2 x+1)} =2 \int \sqrt{t} d t$
$=2 \frac{t^{(\frac1 2)+1}}{(\frac1 2)+1}+C =\frac{4}{3}\left(x^{2}+x+1\right)^{\frac3 2} + C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए $x \sqrt{1+2 x^{2}}$
Answerमाना l $= \int x \sqrt{1+2 x^{2}} d x$
माना $1 + 2x^{2 }= t$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$4x = \frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{4 x}$
$\therefore I=\int x \sqrt{t} \frac{d t}{4 x} =\frac{1}{4} \int \sqrt{t} d t =\frac{1}{4} \int t^{\frac1 2} d t =\frac{1}{4} \frac{t^{(\frac1 2)+1}}{(\frac1 2)+1}+C =\frac{1}{6}\left(1+2 x^{2}\right)^{\frac3 2}+ C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int x \sqrt{x+2} d x$
Answer$\int x \sqrt{x+2} d x = \int(x + 2 − 2) \sqrt{x+2} d x =\int(x+2) \sqrt{x+2} d x -2 \int \sqrt{x+2} d x$
$=\int(x+2)^{\frac3 2} dx - 2\int(x+2)^{\frac1 2} d x$
$=\frac{(x+2)^{(\frac3 2)+1}}{(\frac3 2)+1} -2 \frac{(x+2)^{(\frac1 2)+1}}{(\frac1 2)+1} + C (\because \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1})$
$=\frac{2}{5}(x+2)^{\frac5 2} -\frac{2 \times 2}{3}(x+2)^{\frac3 2} + C$
$=\frac{2}{5}(x+2)^{\frac5 2} -\frac{4}{3}(x+2)^{\frac3 2} + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \sqrt{a x+b} d x$
Answer$\int \sqrt{a x+b} d x =\int(a x+b)^{\frac1 2} d x $
$[\because \int(ax + b)^n dx = \frac{(a x+b)^{n+1}}{a(n+1)}]$
$=\frac{(a x+b)^{(1 / 2)+1}}{a\left(\frac{1}{2}+1\right)} +C$
$=\frac{(a x+b)^{3 / 2}}{a\left(\frac{3}{2}\right)} + C $
$=\frac{2}{3 a}(a x+b)^{\frac3 2} + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int$sin x sin (cos x) dx
Answerमाना l = $∫$sin x sin(cos x) dx
माना cos x = t
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$-\sin x=\frac{d t}{d x} $ $\Rightarrow d x=\frac{d t}{-\sin x}$
$\therefore$ $I=\int \sin x \sin (t) \frac{d t}{-\sin x}$ = −$∫$sin t dt = − (−cos t) + C = cos (cos x) + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)}{\left(1+x^{8}\right)}$
Answerमाना $I = \int \frac{x^{3} \sin \left(\tan ^{-1} x^{4}\right)}{\left(1+x^{8}\right)} d x$
माना $\tan^{-1} x^4 = t \Rightarrow\frac{1}{1+x^{8}} \cdot 4 x^{3} =\frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x =\frac{\left(1+x^{8}\right)}{4 x^{3}} d t$
$\therefore I=\int \frac{x^{3} \sin t}{\left(1+x^{8}\right)} \cdot \frac{1+x^{8} d t}{4 x^{3}} =\frac{1}{4} \int \sin t d t =-\frac{1}{4} \cos t + C =-\frac{1}{4} \cos (\tan^{−1 }x^4) + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{(1+\log x)^{2}}{x} d x$
Answer$\int \frac{(1+\log x)^{2}}{x} d x$
माना 1 + log x = t $\Rightarrow$ $\frac{1}{x}$ = $\frac{dt}{dx}$ $\Rightarrow$ dx = x dt
$\therefore$ $\int \frac{(1+\log x)^{2}}{x} d x=$ $\int \frac{t^{2}}{x} x d t$
$=\int t^{2} d t$ $=\frac{t^{3}}{3}+C$ $=\frac{(1+\log x)^{3}}{3}$ + C
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समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}} d x$
Answerमाना $I = \int \frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}} d x$
माना $1 + \cos x = t \Rightarrow -\sin x =\frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x =\frac{d t}{-\sin x}$
$\therefore I=\int \frac{\sin x}{(1+\cos x)^{2}} d x =\int \frac{\sin x}{t^{2}} \times \frac{d t}{-\sin x} =-\int \frac{1}{t^{2}} d t$
$= -\int t^{−2}dt =\frac{-t^{-2+1}}{-2+1}+C =\frac{1}{t}+C=\frac{1}{1+\cos x} + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\sin x}{1+\cos x}$
Answerमाना I = $\int \frac{\sin x}{1+\cos x} d x$
माना 1 + cos x = t $\Rightarrow$ - sin x = $\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x$ $=\frac{d t}{-\sin x}$
$\therefore$ $I=\int \frac{\sin x}{t} $ $\times \frac{d t}{-\sin x}$ $=-\int_{t}^{1} d t$ = −log |t| + C = −log |1 + cos x| + C
$=\log \left|\frac{1}{1+\cos x}\right|+C$ ($\because$ - log a = log $\frac{1}{a}$)
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{1}{x+x \log x} d x$
Answerमाना $I=\int \frac{1}{x(1+\log x)} d x$
माना 1 + log x = t
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{1}{x}=\frac{d t}{d x} $$\Rightarrow$ dx = dt
$\therefore$ $I=\int \frac{1}{x(t)} x d t$ $=\int_{t}^{1} d t$ = log |t| + C = log |1 + log x| + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: cot x log sin x
Answer$\int$cot x log sin x dx
माना log sin x = t $ \Rightarrow \frac{1}{\sin x} \times \cos x$ $=\frac{d t}{d x} \Rightarrow \cot x$ $=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x$ $=\frac{d t}{\cot x}$
$\therefore$ $\int \cot x \log \sin x d x$ $=\int \cot x \cdot t $ $\frac{d t}{\cot x}=\int t d t$ $=\frac{t^{2}}{2}+C$ $=\frac{(\log \sin x)^{2}}{2}$ + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} $
Answer$\int \frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}} d x$ $=\int(1+\sin x)^{-\frac 1 2}$ cos x dx
माना 1 + sin x = t $\Rightarrow \cos x$ $=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x$ $=\frac{d t}{\cos x}$
$\therefore$ $\int(1+\sin x)^{\frac1 2}$ cos x dx $=\int(t)^{-\frac1 2} \cos x \frac{d t}{\cos x}$ $=\frac{t^{-\frac1 2+1}}{\left(-\frac{1}{2}+1\right)}+C$
= $2 t^{\frac1 2}+C$ $=2 \sqrt{1+\sin x}$ + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\sqrt{\sin 2 x} \cos 2 x$
Answer$\int \sqrt{\sin 2 x} \cos 2 x d x$
माना sin 2x = t $\Rightarrow$ 2 cos 2x $=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x$ $=\frac{d t}{2 \cos 2 x}$
$\therefore$ $\int \sqrt{\sin 2 x} \cos 2 x d x$ $=\int \sqrt{t} \cos 2 x \frac{d t}{2 \cos 2 x}$ $=\frac{1}{2} \int \sqrt{t} d t$
$=\frac{1}{2} \frac{t^{\frac1 2+1}}{\left(\frac{1}{2}+1\right)}+C$ $=\frac{1}{3} t^{\frac3 2}+C$ $=\frac{1}{3}(\sin 2 x)^{\frac3 2}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$
Answer$\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$, माना $\sqrt{x}=t \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ $=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x$ $=2 \sqrt{x} d t$
$\therefore$ $\int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$ $=\int \frac{\cos t}{\sqrt{x}} 2 \sqrt{x} d t$ = 2 $∫$cos t dt = 2sin t + C = 2 sin $\sqrt{x}$ + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} $
Answerमाना I = $\int \frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$
माना $\sin ^{-1} x=t $ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{d t}{d x}$ $ \Rightarrow d x=\sqrt{1-x^{2}} d t$
$\therefore$ $I=\int \frac{t}{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1-x^{2}} d t$ $=\int t d t=\frac{t^{2}}{2}+C$ $=\frac{\left(\sin ^{-1} x\right)^{2}}{2}+C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\sec^2(7 - 4x)$
Answer$\int \sec^2(7 - 4x)dx$
माना $7 - 4x = t \Rightarrow -4 = \frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{-4}$
$\therefore \int sec^2 (7 - 4x) dx = \int sec^2t \cdot \frac{d t}{-4}=-\frac{1}{4} \tan t+C =-\frac{1}{4} \tan(7 - 4x) + C$
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फलन का समाकलन कीजिए: $\int \frac{(\log x)^{2}}{x} d x$
Answerमाना $I=\int \frac{(\log x)^{2}}{x} d x$
माना log x = t
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{1}{x}=\frac{d t}{d x} $ $\Rightarrow $ dx = x dt
$\therefore$ $I=\int \frac{t^{2}}{x} x d t$ $=\int t^{2} d t=\frac{t^{3}}{3}$ $+C=\frac{(\log x)^{3}}{3}$ + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} d x$
Answer$\int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} d x$
माना $\tan^{-1 }x = t \Rightarrow \frac{1}{1+x^{2}}$
$=\frac{d t}{d x} \Rightarrow dx = (1 + x^2) dt$
$\therefore \int \frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^{2}} d x$
$=\int \frac{e^{t}}{1+x^{2}}\left(1+x^{2}\right) dt$
$= \int e^t dt = e^{t }+ C $
$=e^{\tan^{-1}x}+ C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $e^{(2x + 3)}$
Answer$\int e^{(2x + 3)}dx$
माना $2x+ 3 = t \Rightarrow 2=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2}$
$\therefore \int e^{(2x + 3)}dx = \int e^{t} \frac{d t}{2} =\frac{1}{2} \int e^{t} d t =\frac{1}{2} e^{t}+C =\frac{1}{2} e^{(2 x+3)} + C$
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\frac{1}{x(\log x)^{m}} $
Answer$\int \frac{1}{x(\log x)^{m}} d x$
माना log x = t $\Rightarrow \frac{1}{x}$ $=\frac{d t}{d x} \Rightarrow $ dx = dt
$\therefore$ $\int \frac{1}{x(\log x)^{m}} d x$ $=\int \frac{1}{x(t)^{m}} x d t$ $=\int t^{-m} d t=$ $\frac{t^{-m+1}}{-m+1}+C$$=\frac{(\log x)^{1-m}}{1-m}$ + C
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फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{1}{x-\sqrt{x}}$
Answer$\int \frac{1}{x-\sqrt{x}} d x$ $=\int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} d x$
माना $\sqrt{x}-1$ $=t \Rightarrow \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ $=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x$ $=2 \sqrt{x} d t$
$\therefore$ $\int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} d x$ $=\int \frac{1}{\sqrt{x} t} 2 \sqrt{x} d t$$=\int \frac{2}{t} d t$ = 2 $\cdot$ log |t| + C $=2 \log |\sqrt{x}-1|+C$
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फलन का समाकलन कीजिए: $\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x$
Answerमाना $I=\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x$
माना $1 + x^2 = t$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$2x dx = dt $
$\Rightarrow dx = \frac{dt}{2x}$
$\therefore I=\int \frac{2 x}{t} \frac{d t}{2 x}=\int \frac{1}{t} d t=\log |t| + C = \log ∣1 + x^2∣ + C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int (2x^{2 }+ e^x) dx$
Answer$\int(2x^{2 }+ ex) dx = 2\int x^{2 }dx + \int e^{x }dx =\frac{2 x^{3}}{3} + e^{x }+ C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int (ax^2 + bx + c)dx$
Answer$\int(ax^{2 }+ bx + c) dx = \int ax^{2 }dx + \int bx dx + c\int 1 dx$
$=\frac{a x^{3}}{3}+\frac{b x^{2}}{2} + cx + K ($जहाँ, $K$ एक समाकलन नियतांक है$)$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) d x$
Answer$\int x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right) d x$ $=\int\left(x^{2}-\frac{x^{2}}{x^{2}}\right) d x$ $=\int\left(x^{2}-1\right) d x$ $=\int x^{2} d x-\int 1 d x$ $=\frac{x^{3}}{3}$ - x + C
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int(4e^{3x} + 1) dx$
Answer$\int(4e^{3x }+ 1) dx = 4\int e^{3x }dx + \int1dx =\frac{4 e^{3 x}}{3} + x + C (\because \int e^{nx} dx = \frac{e^{n x}}{n})$
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फलन के प्रतिअवकलज $($समाकलन$)$ निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
$(ax + b)^2$
Answer$\int(ax + b)^{2 }dx =\frac{1}{3 a} (ax + b)^3 [\because \frac{d}{d x}\left\{\frac{1}{3 a}(a x+b)^{3}\right\}=\frac{1}{3 a} \cdot 3(a x+b)^{2} a = (ax + b)^2]$
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फलन के प्रतिअवकलज $($समाकलन$)$ निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। $e^{2x}$
Answer$\int e^{2x} =\frac{1}{2} e^{2 x} [\because \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} e^{2 x}\right)=\frac{1}{2} e^{2 x} \cdot 2 = e^{2x}]$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{2-3 \sin x}{\cos ^{2} x} d x$
Answer$\int \frac{2-3 \sin x}{\cos ^{2} x} d x =\int \frac{2}{\cos ^{2} x} d x-3 \int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x$
$= 2\int \sec^{2 }x dx − 3\int \tan x\cdot sec x dx$
$= 2 \tan x - 3 sec x + C$
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फलन के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
cos 3x
Answer$\int \cos 3 x d x=\frac{1}{3} \sin 3 x$ [$\because$ $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{3} \sin 3 x\right)$ $=\frac{1}{3}$ (cos 3x)3 = cos 3x]
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\sec ^{2} x}{\operatorname{cosec}^{2} x} d x$
Answer$\int \frac{\sec ^{2} x}{\operatorname{cosec}^{2} x} d x =\int \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x = \int \tan^{2 }x dx = \int(sec^{2 }x − 1)dx (\because \frac{1}{\operatorname{cosec}^{2} x}=\sin ^{2} x$ तथा $\sec ^{2} x=\frac{1}{\cos ^{2} x})$
$= \int sec^2x dx - \int1dx = \tan x - x + C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \sec x (\sec x + \tan x) dx$
Answer$\int \sec x \sec x + \tan x) dx = \int(\sec^2x + \sec x\cdot\tan x) dx$
$= \int \sec^2x dx + \int \sec x\cdot\tan x dx = \tan x + \sec x + C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int (2x^{2 }− 3 \sin x + 5\sqrt{x})dx$
Answer$\int(2x^{2 }− 3sin x + 5x\sqrt{x}) dx = 2\int x^{2 }dx − 3\int \sin x dx +5 \int x^{\frac1 2} d x$
$=\frac{2 x^{3}}{3} − 3 (− \cos x) +5 \frac{x^{(\frac1 2)+1}}{(\frac1 2)+1} + C$
$=\frac{2}{3} x^{3} + 3 \cos x +\frac{5 \times 2}{3} x^{\frac3 2} +C=\frac{2}{3} x^{3} + 3 \cos x +\frac{10}{3} x^{\frac3 2} + C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int(2x − 3 \cos x + e^x) dx$
Answer$\int(2x − 3cos x + e^x) dx = 2x \int dx − 3\int \cos x dx + \int e^{x }dx$
$=\frac{2 x^{2}}{2} − 3 \sin x + e^{x }+ C$
$= x^{2 }− 3 \sin x + e^{x }+ C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int(1-x) \sqrt{x} d x$
Answer$\int(1 − x) \sqrt{x} d x =\int\left(\sqrt{x}-x^{\frac{3}{2}}\right) d x$
$=\frac{x^{(\frac{1} 2)+1}}{(\frac{1} 2)+1} -\frac{x^{(\frac{3} 2)+1}}{(\frac{3} 2)+1}+C =\frac{x^{(\frac{3} 2)}}{(\frac{3} 2)}-\frac{x^{(\frac{5} 2)}}{(\frac{5} 2)}+C (\because \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1})$
$=\frac{2}{3} x^{\frac{3} 2}-\frac{2}{5} x^{\frac{5} 2}+C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{(x-1)} d x$
Answer$\int \frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{(x-1)} d x$ $=\int \frac{x^{2}(x-1)+1(x-1)}{(x-1)} d x$
$=\int \frac{\left(x^{2}+1\right)(x-1)}{(x-1)} d x$ $=\int\left(x^{2}+1\right) d x=\frac{x^{3}}{3}$ + x + C
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निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
$\int_{0}^{4}$ |x - 1|dx
Answerमाना I = $\int_{0}^{4}$ |x - 1| dx
यह देख सकते हैं कि (x - 1) $\leq$ 0 जब 0 $\leq$ x $\leq$ 1 और (x - 1) $\leq $ 0 जब 1 $\leq$ x $\leq$ 4
$\therefore$ $I=\int_{0}^{1}$ |x − 1|dx $+\int_{0}^{4}$ |x − 1|dx [$\because$ $\int_{a}^{b}$ f(x) dx = $\int_{a}^{c}$f(x) dx + $\int_{c}^{b}$f(x)dx]
$=\int_{0}^{1}(1-x) d x+\int_{1}^{4}(x-1) d x$ $=\left[x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{4}$
$=\left(1-\frac{1}{2}\right)-0+\left(\frac{4^{2}}{2}-4\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)$ $=\frac{1}{2}+4+\frac{1}{2}$ = 5
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निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
$\int_{0}^{2 \pi} cos^5 x dx$
Answer$\int_{0}^{2 \pi} \cos^5x dx = 2 \int_{0}^{ \pi} \cos^5x dx [\because \int_{0}^{2a} f(x) = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$, जहाँ, $f (2a - x) = f(x),$ अतः $2a = 2x \therefore \cos^5(2x - x) = \cos^5x]$
$= 2 \times 0 = 0 (\because \int_{0}^{2a} f(x) = 0$, यदि $f(2a - x) = -f(x);$ जहाँ $2a = \pi \therefore \cos^5(\pi - x) = - \cos^5x)$
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निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
$\int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \sin^7 x dx$
Answer$\int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \sin^7 x dx$
यहाँ, $f(x) = \sin^7x$
$f(-x) = \sin 7(-x) = [-\sin x]^7 = - \sin^7x$
$\therefore f(-x) = -f(x)$
अतः $f(x)$ एक विषम फलन है।
$\int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \sin^{7 }x dx = 0 [\because \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$ यदि $f(x)$ एक विषम फलन है$]$
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निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
$\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} d x$
Answerमाना $I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\sin x} d x ...(i)$
तब, $I=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin (\pi-x)} d x [ \because \int_{0}^{a} f(x)dx = \int_{0}^{a} f(a - x)dx]$
$ \Rightarrow I=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi-x}{1+\sin x} d x ...(ii) [ \because \sin ( \pi - x) = \sin x]$
समी $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,
$2 l=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{(1+\sin x)} d x =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{(1+\sin x)} d x $
$ =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x [$अंश और हर में $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर$]$
$\Rightarrow 2 I=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin x}{1-\sin ^{2} x} d x =\pi \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\cos ^{2} x} d x -\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x ( \because \sin^2 x + \cos^2 x = 1)$
$ \Rightarrow 2I = \pi \int_{0}^{\pi} sec^2x dx - \pi \int_{0}^{\pi} \sec x \cdot \tan x dx$
$ \Rightarrow 2I = \pi [\tan x-\sec x]_{0}^{\pi} $
$ \Rightarrow 2I = \pi [\tan \pi - sec \pi - (\tan 0 - sec 0)]$
$ \Rightarrow 2I = \pi (0 + 1 - 0 + 1) \Rightarrow 2I = 2 \pi \Rightarrow I = \pi$
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निश्चित समाकलन के गुणधर्मों का उपयोग करते हुए समाकलन का मान ज्ञात कीजिए-
$\int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \sin^2x dx$
Answerमाना $= I = \int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \sin^2x dx$
यहाँ, $f(x) = \sin^2x$
$f(-x) = \sin^2(-x) = [\sin(-x)]^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2x = f(x)$
$\therefore f(x)$ एक सम फलन है।
$I=\int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \sin^{2 }x dx =2 \int_{0}^{\frac\pi 2} \sin^2xdx [\because \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$, यदि $f(x)$ सम है$]$
$= 2 \int_{0}^{\frac\pi 2}\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right) d x (\because \cos 2x = 1 - 2 \sin^2x)$
$=\int_{0}^{\frac\pi 2} (1 − \cos 2x) dx =\left[x-\frac{\sin 2 x}{2}\right]_{0}^{\frac\pi 2}$
$=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\sin \pi}{2}\right) −(0 − 0) =\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए: $\int \frac{x^{3}+5 x^{2}-4}{x^{2}} d x$
Answer$\int \frac{x^{3}+5 x^{2}-4}{x^{2}} d x$ $=\int \frac{x^{3}}{x^{2}} d x$ $+5 \int \frac{x^{2}}{x^{2}} d x$ $-4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$
= $∫$x dx + 5$∫$1 $ \cdot d x-4 \int x^{-2} $$d x=\frac{x^{2}}{2}+$$5 x-4\left(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right)$
$=\frac{x^{2}}{2}$ $+5 x-4\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)$ $=\frac{x^{2}}{2}+5 x$ $+\frac{4}{x}+C$
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समाकलन को ज्ञात कीजिए $: \int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x$
Answer$\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x$
$=\int\left[(\sqrt{x})^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{-x}}\right)^{2}-2 \sqrt{x} \times \frac{1}{\sqrt{x}}\right] d x$
$[\because (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab]$
$=\int\left(x+\frac{1}{x}-2\right) d x$
$=\int x d x+\int \frac{1}{x} d x-2 \int 1 d x$
$=\frac{x^{2}}{2} + \log |x| − 2x + C$
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फलन के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।
sin 2x
Answer$∫$sin 2x dx = -$\frac{1}{2}$ cos 2x $\left[\because \frac{d}{d x}\left(-\frac{1}{2} \cos 2 x\right)\right.$ = -$\frac{1}{2}$(-sin 2x)2 = sin 2x]
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समाकलन का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
$\int^{1}_{-1}-\frac{1}{x^{2}+2 x+5} d x$
Answer$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{2}+2 x+5} d x$ $=\int_{-1}^{1} \frac{1}{\left(x^{2}+2 x+1\right)+4} d x$
$=\int_{-1}^{1} \frac{1}{(x+1)^{2}+2^{2}} d x$ $=\frac{1}{2}\left[\tan ^{-1} \frac{x+1}{2}\right]_{-1}^{1}$ ($\because$ $\int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}$)
$=\frac{1}{2}\left[\tan ^{-1}\left(\frac{2}{2}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{0}{2}\right)\right]$ $=\frac{1}{2}\left(\tan ^{-1} 1\right)=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$
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समाकलन का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
$\int_{0}^{\frac\pi 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$
Answerमाना $I=\int_{0}^{\frac\pi 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$
cos x = t रखने पर,
$\Rightarrow$ - sin x dx = dt $\Rightarrow$ dx = $\frac{dt}{- sin x}$
सीमाओं के लिए, जब x = 0 $\Rightarrow$ t = cos 0 = 1 ($\because$ t = cos x)
और जब x = $\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow$ t = cos $\frac{\pi}{2 }$ = 0
$\therefore$ $I=\int_{1}^{0} \frac{\sin x}{1+t^{2}} \frac{d t}{(-\sin x)} d x$ $=-\int_{1}^{0} \frac{1}{1+t^{2}} d t$ $\left(\because \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}\right)$
$=-\left[\frac{1}{1} \tan ^{-1}\left(\frac{t}{1}\right)\right]_{1}^{0}$ $=-\left[\tan ^{-1} t\right]_{1}^{0}$ = − [tan − 1(0) − tan − 1(1)] $=-\left(0-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}$
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समाकलन का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$
Answerमाना $I=\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x$
$x^2 + 1 = t$ रखने पर,
$\Rightarrow 2 x=\frac{d t}{d x} \Rightarrow d x=\frac{d t}{2 x}$
सीमा के लिए, जब $x = 0 \Rightarrow t = 1$ और जब $x = 1 \Rightarrow t = 2 (\because t = x^2 + 1)$
$\therefore I=\int_{1}^{2} \frac{x}{t} \frac{d t}{2 x} =\frac{1}{2} \int_{1}^{21}-d t=\frac{1}{2}[\log |t|]_{1}^{2}$
$=\frac{1}{2}[\log |2|-\log |1|] =\frac{1}{2} \log 2 (\because log1 = 0) (\because \log 1 = 0)$
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$\int \frac{x^{4} d x}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}$ ज्ञात कीजिए।
Answerहम प्राप्त करते हैं कि $\frac{x^{4}}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} =(x+1) +\frac{1}{x^{3}-x^{2}+x-1}$
$= (x + 1) +\frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} ...(1)$
अब $\frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{\mathrm{A}}{(x-1)}+\frac{\mathrm{B} x+\mathrm{C}}{\left(x^{2}+1\right)}$ के रूप में अभिव्यक्त करते हैं$...(2)$
इसलिए $1 = A(x^{2 }+ 1) + (Bx + C) (x − 1)$
$= (A + B)x^{2 }+ (C − B)x + A − C$
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर हम पाते हैं कि $A + B = 0, C - B = 0$ और $A - C = 1$, जिससे प्राप्त होता है कि $\mathrm{A}=\frac{1}{2}, B = C =-\frac{1}{2}$
$A, B$ एवं $C$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} =\frac{1}{2(x-1)} -\frac{1}{2} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} -\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)} ...(3)$
$(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
$\frac{x^{4}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} =(x+1)+\frac{1}{2(x-1)} -\frac{1}{2} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)} -\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}$
इसलिए $\int \frac{x^{4}}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x =\frac{x^{2}}{2}+x+\frac{1}{2} \log |x-1|-\frac{1}{4} \log (x^{2 }+ 1) -\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+\mathrm{C}$
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$\int \frac{\left(x^{4}-x\right)^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} d x$ ज्ञात कीजिए।
Answerहम प्राप्त करते हैं कि $\int \frac{\left(x^{4}-x\right)^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} d x =\int \frac{\left(1-\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{1}{4}}}{x^{4}} d x$
अब $1-\frac{1}{x^{3}} = 1 − x^{−3} = t,$ रखने पर $\frac{3}{x^{4}} d x=d t$
इसलिए $\int \frac{\left(x^{4}-x\right)^{\frac{1}{4}}}{x^{5}} d x =\frac{1}{3} \int t^{\frac{1}{4}} d t$
$=\frac{1}{3} \times \frac{4}{5} t^{\frac{5}{4}}+\mathrm{C} =\frac{4}{15}\left(1-\frac{1}{x^{3}}\right)^{\frac{5}{4}}+\mathrm{C}$
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$\int \cos 6 x \sqrt{1+\sin 6 x} d x$ ज्ञात कीजिए।
Answert = 1 + sin 6x, रखने पर dt = 6 cos 6x dx
इसलिए $\int \cos 6 x \sqrt{1+\sin 6 x} d x$ $=\frac{1}{6} \int t^{\frac{1}{2}} d t$
$=\frac{1}{6} \times \frac{2}{3}(t)^{\frac{3}{2}}+\mathrm{C}$ $=\frac{1}{9}(1+\sin 6 x)^{\frac{3}{2}}+\mathrm{C}$
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$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि $\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} $log sin x dx
तब $\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x$ = $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x d x$
I, के दोनों मानों को जोड़ने पर हम पाते हैं
$2 \mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ (log sin x + log cos x)dx
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ (log sin x cos x + log 2 − log 2) dx (log 2 जोड़ने एवं घटाने पर)
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2 x d x$ $-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log 2 d x$
प्रथम समाकलन में 2x = t रखने पर 2dx = dt जब x = 0 तो t = 0 और जब $x=\frac{\pi}{2}$ तो t = $\pi$
इसलिए $2 \mathrm{I}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi}$ log sin t dt$-\frac{\pi}{2} \log 2$
$=\frac{2}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} $ log sin t dt$-\frac{\pi}{2} \log 2$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ log sin x dx $-\frac{\pi}{2} \log 2$ (चर t को x में परिवर्तित करने पर)
$=\mathrm{I}-\frac{\pi}{2} \log 2 $
अतः $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x d x$ $=\frac{-\pi}{2} \log 2$
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$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि $\mathrm{I}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d x}{1+\sqrt{\tan x}}$ $=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos x} d x}{\sqrt{\cos x}+\sqrt{\sin x}}$ ...(1)
तब $I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x\right)} d x}{\sqrt{\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x\right)}+\sqrt{\sin \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x\right)}} $
$=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x$ ...(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि $2 \mathrm{I}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d x$ $=[x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$ $=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}$ $=\frac{\pi}{6}$
अतः $I=\frac{\pi}{12}$
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$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि $\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$ ...(1)
तब $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin ^{4}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos ^{4}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} d x$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x$ ...(2)
(1) और (2) को जोड़ने पर हम पाते हैं कि
$2 \mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} $ $d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d x$ $=[x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $=\frac{\pi}{2} $
अतः $I=\frac{\pi}{4} $
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$\int_{-1}^{1} \sin^{5 }x \cos^{4 }x dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि $\mathrm{I}=\int_{-1}^{1} \sin^{5 }x \cos^{4 }x dx$ और $f(x) = \sin^5 x \cos^4 x$
तब $f(-x) = \sin^{5 }(−x) \cos^{4 }(−x) = −\sin^{5 }x \cos^{4 }x = −f(x),$ अर्थात् $f$ एक विषम फलन है इसलिए $I = 0$
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$\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए कि $I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ $=\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin (\pi-x) d x}{1+\cos ^{2}(\pi-x)}$
$=\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-x) \sin x d x}{1+\cos ^{2} x}$ $=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x d x}{1+\cos ^{2} x}-\mathrm{I}$
अथवा $2 \mathrm{I}=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x d x}{1+\cos ^{2} x} $
अथवा $I=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x d x}{1+\cos ^{2} x} $
cos x = t रखने पर -sin x dx = dt
जब x = 0 तब t = 1 और जब x = $\pi$ तब t = -1 है। इसलिए हम पाते हैं कि
$\mathrm{I}=\frac{-\pi}{2} \int_{1}^{-1}$ $ \frac{d t}{1+t^{2}}$ $=\frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}} $
$=\pi \int_{0}^{1} \frac{d t}{1+t^{2}}$ क्योंकि $\frac{1}{1+t^{2}}$ एक समफलन है
$=\pi\left[\tan ^{-1} t\right]_{0}^{1}$ $=\pi\left[\tan ^{-1} 1-\tan ^{-1} 0\right]$ $=\pi\left[\frac{\pi}{4}-0\right]$ $=\frac{\pi^{2}}{4}$
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$\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x$ dx का मान ज्ञात कीजिए।
Answerहम प्रेक्षित करते हैं कि $\sin^2 x$ एक सम फलन है।
इसलिए $\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} x d x =2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} x d x $
$=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{(1-\cos 2 x)}{2} d x =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1 - \cos 2x) dx$
$=\left[x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}\right) -0=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$
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$\int_{-1}^{2}\left|x^{3}-x\right| d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerहम देखते हैं कि $[-1, 0]$ पर $x^{3 }- x \geq 0$ और $[0, 1]$ पर $x^{3 }- x \leq 0$ और$ [1, 2] $ पर $x^{3 }- x \geq 0$ तब हम लिख सकते हैं कि
$\int_{-1}^{2}\left|x^{3}-x\right| d x =\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right) d x +\int_{0}^{1}-\left(x^{3}-x\right) d x+\int_{1}^{2}\left(x^{3}-x\right)dx$
$=\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right) d x+\int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right) d x+\int_{1}^{2}\left(x^{3}-x\right)dx$
$=\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{0} +\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} +\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}$
$=-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) + (4 − 2) −\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)$
$=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} +\frac{1}{2}-\frac{1}{4} +2-\frac{1}{4} +\frac{1}{2}= \frac{3}{2}- \frac{3}{4}+2 =\frac{11}{4}$
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$\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x $ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए $t = \tan^{-1 }x,$ तब $dt = \frac{1}{1+x^{2}} d x$. जब $x = 0$ तो $t = 0$ और जब $x = 1$ तो $t = \frac{\pi}{4}$
अतः जैसे-जैसे $x, 0$ से $1$ तक परिवर्तित होता है वैसे$-$वैसे $t, 0$ से $\frac{\pi}{4}$ तक परिवर्तित होता है।
इसलिए $\int_{0}^{1} \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} d x =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t d t\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\frac{1}{2}\left[\frac{\pi^{2}}{16}-0\right] =\frac{\pi^{2}}{32}$
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$\int_{-1}^{1} 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$t = x^5+ 1,$ रखने पर $dt = 5x^4 dx$
इसलिए $\int 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x =\int \sqrt{t} d t =\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} =\frac{2}{3}\left(x^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}}$
अतः $\int_{-1}^{1} 5 x^{4} \sqrt{x^{5}+1} d x =\frac{2}{3}\left[\left(x^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}}\right]_{-1}^{1}$
$=\frac{2}{3}\left[\left(1^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left((-1)^{5}+1\right)^{\frac{3}{2}}\right]$
$=\frac{2}{3}\left[2^{\frac{3}{2}}-0^{\frac{3}{2}}\right] =\frac{2}{3}(2 \sqrt{2}) =\frac{4 \sqrt{2}}{3}$
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योगफल की सीमा के रूप में $\int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमाना,
$I=\int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$
यहाँ $a = 0$ तथा $b = 2$
$\therefore h=\frac{b-a}{n}$
$\Rightarrow nh = 2$ तथा $f(x) = e^x$
अब$, \int \limits_{0}^{2} e^{x} d x$
$= \lim \limits_{h \rightarrow 0} h [f(0) + f(0 + h) + f(0 + 2h) +...+ f{0 + (n - 1)h}]$
$\therefore I=\lim \limits _{h \rightarrow 0} h[1 + e^{h }+ e^{2h }+...+e^{(n-1)h}]$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left[\frac{1 \cdot\left(e^{h}\right)^{n}-1}{e^{h}-1}\right]$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left(\frac{e^{n h}-1}{e^{h}-1}\right)$
$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} h\left(\frac{e^{2}-1}{e^{h}-1}\right)$
$=e^{2} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}-\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}$
$\left[\because \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h}{e^{h}-1}=1\right]$
$= e^2 - 1$
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योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} (x^2 + 1)dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerपरिभाषा के अनुसार
$\int_{a}^{b} f(x) d x =(b-a) \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}[f(a) +f(a+h)+\ldots + f(a + (n − 1)h]$
जहाँ $h=\frac{b-a}{n}$
इस उदाहरण में $a = 0, b = 2, f(x) = x^{2 }+ 1, h=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}$
इसलिए $\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right) d x =2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[f(0)+f\left(\frac{2}{n}\right)+f\left(\frac{4}{n}\right)+\ldots+f\left(\frac{2(n-1)}{n}\right)\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[1+\left(\frac{2^{2}}{n^{2}}+1\right)+\left(\frac{4^{2}}{n^{2}}+1\right)+\ldots+\right. \left.+\left(\frac{(2 n-2)^{2}}{n^{2}}+1\right)\right]$
$=2 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}[(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})+\frac{1}{n^2}\left(2^2+4^2+\ldots+(2 n-2)^2\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{2^{2}}{n^{2}}\left(1^{2}+2^{2} +\ldots+(n-1)^{2}\right]\right.$
$=2 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{4}{n^{2}}\right.\left.\frac{(n-1) n(2 n-1)}{6}\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left[n+\frac{2}{3} \frac{(n-1)(2 n-1)}{n}\right]$
$=2 \lim \limits _{n \rightarrow \infty}\left[1+\frac{2}{3}\right. \left.\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{1}{n}\right)\right]=2\left[1+\frac{4}{3}\right]=\frac{14}{3}$
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$\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x$ ज्ञात कीजिए।
Answerध्यान दीजिए कि $\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x$ $=\int \sqrt{4-(x+1)^{2}} d x$
अब x + 1 = y रखने पर dx = dy
इस प्रकार $\int \sqrt{3-2 x-x^{2}} d x$ $=\int \sqrt{4-y^{2}} d y$
$=\frac{1}{2} y \sqrt{4-y^{2}}$ $+\frac{4}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{2}+C$
$=\frac{1}{2}(x+1) $ $\sqrt{3-2 x-x^{2}}$ $+2 \sin ^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right)$ + C
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$\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x$ ज्ञात कीजिए।
Answerध्यान दीजिए कि $\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x$ $=\int \sqrt{(x+1)^{2}+4} d x$
अब x + 1 = y रखने पर dx = dy, तब
$\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x$ $=\int \sqrt{y^{2}+2^{2}} d y $
$=\frac{1}{2} y \sqrt{y^{2}+4}$ $+\frac{4}{2} \log \left|y+\sqrt{y^{2}+4}\right|$ + C
$=\frac{1}{2}(x+1)$ $ \sqrt{x^{2}+2 x+5}$$+2 \log \left|x+1+\sqrt{x^{2}+2 x+5}\right|$ + C
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ज्ञात कीजिए : $\int \frac{\left(x^{2}+1\right) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$
Answerमान लीजिए कि $\mathrm{I}=\int \frac{\left(x^{2}+1\right) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x $
$=\int e^{x}\left[\frac{\left.x^{2}-1+1+1\right)}{(x+1)^{2}}\right] dx$
$=\int e^{x}\left[\frac{x^{2}-1}{(x+1)^{2}}+\frac{2}{(x+1)^{2}}\right] d x $
$=\int e^{x}\left[\frac{x-1}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^{2}}\right] d x$
मान लीजिए कि $f (x) = \frac{x-1}{x+1} तब f'(x) = \frac{2}{(x+1)^{2}}$
अतः दिया हुआ समाकल्य $e^x [f(x) + f′(x)]$ के रूप में है।
इसलिए $\int \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}} e^{x} d x =\frac{x-1}{x+1} e^{x}+\mathrm{C}$
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ज्ञात कीजिए: $\int e^{x}\left(\tan ^{-1} x+\frac{1}{1+x^{2}}\right) dx$
Answerयहाँ $\mathrm{I}=\int e^{x}\left(\tan ^{-1} x+\frac{1}{1+x^{2}}\right)dx$
अब $f(x) = \tan^{-1} x,$ लीजिए, तब $f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$
अतः दिया हुआ समाकल्य $e^{x }[f(x) + f′(x)]$ के रूप में है।
इसलिए $\mathrm{I}=\int e^{x} \left(\tan ^{-1} x+\frac{1}{1+x^{2}}\right) dx = e^{x }\tan^{− 1}x + C$
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$\int e^{x }\sin x dx$ ज्ञात कीजिए।
Answer$e^{x }$ को प्रथम फलन एवं $\sin x$ को द्वितीय फलन के रूप में लीजिए। तब खंडशः समाकलन से हम पाते हैं कि
$I = \int e^{x }\sin x dx = e^x (−\cos x) + \int e^{x }\cos x dx$
$= -e^{x }\cos x + I_1 ($मान लीजिए$) ...(1)$
$I_1$ में $e^{x }$ एवं $\cos x$ को क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय फलन मानते हुए हम पाते हैं कि
$I_{1 }= e^{x }\sin x − \int e^{x }\sin x dx$
$I_1$ का मान $(1)$ में रखने पर हम पाते हैं कि
$I = −e^{x }\cos x +e^{x }\sin x − I$ अथवा $2I$
$= e^{x }(\sin x - \cos x)$
अतः $I = \int e^{x }\sin x dx$
$=\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x) + C$
View full question & answer→Question 1212 Marks
$\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए प्रथम फलन $= \sin^{-1} x,$ और द्वितीय फलन $=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
अब हम द्वितीय फलन का समाकलन ज्ञात करते हैं अर्थात् $\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ज्ञात करते हैं।
$t = 1 - x^2$ रखिए
तब $dt = -2x dx$
इसलिए $\int \frac{x d x}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$=-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{\sqrt{t}}$
$=-\sqrt{t}=-\sqrt{1-x^{2}}$
अतः $\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$
$=\sin ^{-1} x\left(-\sqrt{1-x^{2}}\right)$
$-\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\left(-\sqrt{1-x^{2}}\right) d x$
$=-\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + x + C $
$= x -\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x+\mathrm{C} $
View full question & answer→Question 1222 Marks
$\int x e^x dx$ ज्ञात कीजिए।
Answer$x$ प्रथम फलन एवं $e^x$ को द्वितीय फलन के रूप में लीजिए
दूसरे फलन का समाकलन $= e^x$
इसलिए $\int x e^{x }dx = xe^{x }−\int1⋅e^xdx = xe^{x }− e^{x }+ C$
View full question & answer→Question 1232 Marks
$\int$log x dx ज्ञात कीजिए।
Answerप्रारम्भ करने के लिए हम ऐसे फलन का अनुमान लगाने में असमर्थ हैं जिसका अवकलज log x है। हम log x को प्रथम फलन एवं अचर फलन 1 को द्वितीय फलन लेते हैं। दूसरे फलन का समाकलन x है।
अतः $∫$(log x $\cdot$1) dx = log x $∫$1dx − $∫$[$\frac{d}{dx}$(log x) $∫$1dx] dx
= log x$\cdot$x − $∫$$\frac{1}{x}$dx = x log x − x + C
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$\int$x cos x dx का मान ज्ञात कीजिए।
Answerf(x) = x (प्रथम फलन) और g(x) = cos x (द्वितीय फलन) रखिए। तब खंडश: समाकलन से प्राप्त होता है कि
$\int $x cos x dx = x$∫$cos x dx −$\int\left[\frac{d}{d x}(x) \int \cos x d x\right] $dx
= x sin x − $∫$sin x dx = x sin x + cos x + C
मान लीजिए कि हम f(x) = cos x एवं g(x) = x लेते हैं तब
$∫$x cos x dx = cos x $∫$x dx $-\int\left[\frac{d}{d x}(\cos x) \int x d x\right] $dx
$=(\cos x) \frac{x^{2}}{2}$$+\int \sin x \frac{x^{2}}{2} d x $
इस प्रकार हम देखते हैं कि समाकलन $\int $cos x dx, तुलनात्मक दृष्टि से x की अधिक घात वाले अधिक कठिन समाकलन में परिवर्तित हो जाता है। इसलिए प्रथम फलन एवं द्वितीय फलन का उचित चयन महत्वपूर्ण है।
View full question & answer→Question 1252 Marks
$\in t \frac{x^{2}+x+1 d x}{(x+2)\left(x^{2}+1\right)}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ समाकल्य एक उचित परिमेय फलन है। परिमेय फलन को आंशिक भिन्नों में विघटित करते हैं।
$\frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x+2)} =\frac{\mathrm{A}}{x+2} +\frac{\mathrm{B} x+\mathrm{C}}{\left(x^{2}+1\right)}$
इसलिए $x^{2 }+ x + 1 = A (x^{2 }+ 1) + (Bx + C) (x + 2)$
दोनों पक्षों से $x^2$ के गुणांकों$, x$ के गुणांकों एवं अचर पदों की तुलना करने पर हम $A + B = 1, 2B + C = 1$ और $A + 2C = 1$ प्राप्त करते हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर हम $\mathrm{A}=\frac{3}{5}, B=\frac{2}{5}, \mathrm{C}=\frac{1}{5}$ पाते हैं।
इस प्रकार समाकल्य निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है
$\frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x+2)} =\frac{3}{5(x+2)}+\frac{\frac{2}{5} x+\frac{1}{5}}{x^{2}+1}=\frac{3}{5(x+2)}+\frac{1}{5}\left(\frac{2 x+1}{x^{2}+1}\right)$
इसलिए $\int \frac{x^{2}+x+1}{\left(x^{2}+1\right)(x+2)} d x$
$=\frac{3}{5} \int \frac{d x}{x+2}+\frac{1}{5} \int \frac{2 x}{x^{2}+1} d x+\frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{2}+1} d x$
$=\frac{3}{5} \log |x+2|+\frac{1}{5} \log \left|x^{2}+1\right|+\frac{1}{5} \tan ^{-1} x + C$
View full question & answer→Question 1262 Marks
$\int \frac{(3 \sin \phi-2) \cos \phi}{5-\cos ^{2} \phi-4 \sin \phi} d \phi$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमान लीजिए y = sin$\phi$
तब dy = cos$ \phi$ d$ \phi$
इसलिए $\int \frac{(3 \sin \phi-2) \cos \phi}{5-\cos ^{2} \phi-4 \sin \phi} d \phi$ $=\int \frac{(3 y-2) d y}{5-\left(1-y^{2}\right)-4 y}$
$=\int \frac{3 y-2}{y^{2}-4 y+4} d y$ $=\int \frac{3 y-2}{(y-2)^{2}}=\mathrm{I}$ (मान लीजिए)
अब हम $\frac{3 y-2}{(y-2)^{2}}$ $=\frac{\mathrm{A}}{y-2}$$+\frac{\mathrm{B}}{(y-2)^{2}}$ लिखते हैं
इसलिए 3y − 2 = A(y − 2) + B
दोनों पक्षों से y के गुणांक एवं अचर पदों की तुलना करने पर हम पाते हैं, A = 3 एवं B - 2A = -2, जिससे हमें A = 3 एवं B = 4 प्राप्त होता है।
इसलिए अभीष्ट समाकलन निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है।
$\mathrm{I}=\int\left[\frac{3}{y-2}+\frac{4}{(y-2)^{2}}\right]$$ d y=3 \int \frac{d y}{y-2}$ $+4 \int \frac{d y}{(y-2)^{2}} $
= 3 log |y − 2| $+4\left(-\frac{1}{y-2}\right)$$+\mathrm{C}=3 \log |\sin \phi-2|$$+\frac{4}{2-\sin \phi}+\mathrm{C}$
= 3 log $(2-\sin \phi)$ $+\frac{4}{2-\sin \phi}+C$ (क्योंकि 2 - sin$ \phi$ हमेशा धनात्मक है)
View full question & answer→Question 1272 Marks
$\int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d\ x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}$ को लीजिए और $x^{2 }= y$ रखिए
तब $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} =\frac{y}{(y+1)(y+4)}$
$\frac{y}{(y+1)(y+4)}$
$=\frac{\mathrm{A}}{y+1} +\frac{\mathrm{B}}{y+4}$ के रूप में लिखिए
ताकि $y = A (y + 4) + B (y + 1)$
दोनों पक्षों से $y$ के गुणांकों एवं अचर पदों की तुलना करने पर हम पाते हैं $A + B = 1$ और $4A + B = 0$, जिससे प्राप्त होता है
$A=-\frac{1}{3}$ और $B=\frac{4}{3}$
अतः $\frac{x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} =-\frac{1}{3\left(x^{2}+1\right)}+\frac{4}{3\left(x^{2}+4\right)}$
इसलिए $\int \frac{x^{2} d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}=-\frac{1}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+1}+\frac{4}{3} \int \frac{d x}{x^{2}+4}$
$=-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x +\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+\mathrm{C}$
$=-\frac{1}{3} \tan ^{-1} x+\frac{2}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{2}+C$
View full question & answer→Question 1282 Marks
$\int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} d\ x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ समाकल्य $\frac{p x^{2}+q x+r}{(x-a)^{2}(x-b)}$ में दिए हुए समाकल्य के रूप का है। अतः हम $\frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{\mathrm{A}}{x+1}+\frac{\mathrm{B}}{(x+1)^{2}}+\frac{\mathrm{C}}{x+3}$ लिखते हैं
ताकि $3x - 2 = A (x + 1) (x + 3) + B (x + 3) + C (x + 1)^2$
$= A (x^{2 }+ 4x + 3) + B (x + 3) + C (x^{2 }+ 2x + 1)$
दोनों पक्षों से $x^2$ के गुणांकों, $x$ के गुणांकों एव अचर पदों की तुलना करने पर पाते हैं कि
$A + C = 0, 4 A + B + 2C = 3$ और $3A + 3B+ C = -2$
इन समीकरणों को हल करने पर हम $\mathrm{A}=\frac{11}{4}, B=\frac{-5}{2}$ और $\mathrm{C}=\frac{-11}{4}$ पाते हैं।
इस प्रकार समाकल्य निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है।
$\frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{11}{4(x+1)}-\frac{5}{2(x+1)^{2}}-\frac{11}{4(x+3)}$
इसलिए$ \int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} =\frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+1}-\frac{5}{2} \int \frac{d x}{(x+1)^{2}}-\frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+3}$
$=\frac{11}{4} \log |x+1|+\frac{5}{2(x+1)}-\frac{11}{4} \log |x+3|+C$
$=\frac{11}{4} \log \left|\frac{x+1}{x+3}\right|+\frac{5}{2(x+1)}+C$
View full question & answer→Question 1292 Marks
$\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} d\ x$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerयहाँ समाकल्य $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6}$ एक उचित परिमेय फलन नहीं है इसलिए हम $x^2 + 1$ को $x^2 - 5x + 6$ से भाग करते हैं और हम पाते हैं कि
$\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{5 x-5}{x^{2}-5 x+6}=1+\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)}$
मान लीजिए कि $\frac{5 x-5}{(x-2)(x-3)} $
$=\frac{\mathrm{A}}{x-2}+\frac{\mathrm{B}}{x-3}$
ताकि $5x - 5 = A(x - 3) + B (x - 2)$
दोनों पक्षों से $x$ के गुणांकों एवं अचर पदों को समान करने पर हम पाते हैं $A + B = 5$ और $3A + 2B = 5$
इन समीकरणों को हल करने पर हम
$A = -5$ और $B = 10$ प्राप्त करते हैं।
अतः $\frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} $
$=1-\frac{5}{x-2}+\frac{10}{x-3}$
इसलिए $\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-5 x+6} d\ x $
$=\int d x-5 \int \frac{1}{x-2} d x+10 \int \frac{d x}{x-3}$
$= x − 5\ log |x − 2| + 10\ log |x − 3| + C$
View full question & answer→Question 1302 Marks
$\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया हुआ समाकल्य एक उचित परिमेय फलन है इसलिए आंशिक भिन्नों के रूप का उपयोग करते हुए, हम
$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ $=\frac{\mathrm{A}}{x+1}$ $+\frac{\mathrm{B}}{x+2},$ लिखते हैं
जहाँ A और B वास्तविक संख्याएँ हैं जिनको हमें उचित विधि से ज्ञात करना है। हम पाते हैं
1 = A (x + 2) + B (x + 1)
x के गुणांकों एवं अचर पदों को समान करने पर हम पाते हैं
A + B = 0
एवं 2A + B = 1
इन समीकरणों को हल करने पर हमें A = 1 और B = -1 प्राप्त होता है।
इस प्रकार समाकल्य निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ $=\frac{1}{x+1}$$+\frac{-1}{x+2}$
इसलिए $\int \frac{d x}{(x+1)(x+2)}$$=\int \frac{d x}{x+1}$$-\int \frac{d x}{x+2}$
= log |x + 1| − log |x + 2| + C $=\log \left|\frac{x+1}{x+2}\right|+\mathrm{C}$
View full question & answer→Question 1312 Marks
यदि $\frac{d}{d x} f(x)=4 x^3-\frac{3}{x^4}$ जहां $f(2)=0$ है तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।
Answer$f(x)=\int\left(4 x^3-3 x^{-4}\right) d x$
$f(x)=x^4+\frac{1}{x^3}+C$ दिया है
$f(2)=0: 0=2^4+\frac{1}{2^3}+$ $C \Rightarrow 0=16+\frac{1}{8}+C$
$C=-\frac{129}{8}$
$\therefore f(x)=x^4+\frac{1}{x^3}-\frac{129}{8}$
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