d
અત્રે,  \(t = 0 \) સમયે ઍક્ટિવિટી \( I = I_0\) અને

\({\text{t}} = {\text{5 }}\) મિનિટ \(\,{\text{I}} = \frac{{{{\text{I}}_{\text{0}}}}}{{\text{e}}} \) છે. તેથી

\({\text{I}} = {{\text{I}}_{\text{0}}}{{\text{e}}^{{{ - \lambda t}}\,}}\) પરથી

\(\frac{{{{\text{I}}_{\text{0}}}}}{{\text{e}}} = {I_0}{e^{ - 5\lambda }}\)

\(\therefore\) \(e = {e^{5\lambda }}\,\,\,\,\)

\(\therefore \,\,\,5\lambda  = \ln \,(e) = 1\,\,\,\,\,\,\,\)

\(\therefore \,\,\,\lambda  = \frac{1}{5}{\text{minut}}{{\text{e}}^{ - 1}}\)

\(→\) રેડિયો-ઍક્ટિવ નમૂનાની ઍક્ટિવિટી ઘટીને તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા મૂલ્યની \(t = {\tau _{\frac{1}{2}}}\) સમયે થાય છે

\(\therefore\) \({\text{t}} = {\tau _{\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}}} = \frac{{0.693}}{\lambda } = \frac{{0.693}}{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}}\)

\( = 5(0.693) = \,\,5({\log _e}^2)\)

\(\because\) \({\log _e}^2 = 2.303 \times {\log _{10}}^2 = 2.303 \times 0.3010 = 0.693)\)