$\frac{d y}{d x}$ का मान $\theta=\frac{\pi}{4}$ पर ज्ञात कीजिए जबकि
$x = a e ^\theta(\sin \theta-\cos \theta)$ और
$y=a e^\theta(\sin \theta+\cos \theta)$
$x = a e ^\theta(\sin \theta-\cos \theta)$ और
$y=a e^\theta(\sin \theta+\cos \theta)$
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$x=a e^\theta(\sin \theta-\cos \theta)$
$\frac{d x}{d \theta}=a\left[\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \sin \theta\right)-\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \cos \theta\right)\right]$
$=a\left[e^\theta \cos \theta+e^\theta \sin \theta-e^\theta(-\sin \theta)-e^\theta \cos \theta\right]$
$=a\left[e^\theta \cos \theta+e^\theta \sin \theta+e^\theta \sin \theta-e^\theta \cos \theta\right]$
$\Rightarrow \frac{d y}{d \theta}=2 a e^\theta \sin \theta$............(1)
और $y=a e^\theta(\sin \theta+\cos \theta)$
$\frac{d y}{d \theta}=a\left[\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \sin \theta\right)+\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \cos \theta\right)\right]$
$=a\left[e^\theta \cos \theta+e^\theta \sin \theta+e^\theta(-\sin \theta)+e^\theta \cos \theta\right]$
$=2 a e^\theta \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 a e^\theta \cos \theta$............(2)
$\therefore \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{2 a e^\theta \cos \theta}{2 a e^\theta \sin \theta}=\cot \theta$
$\theta=\frac{\pi}{4}$ पर $\frac{d y}{d x}=\cot \frac{x}{4}=1$
$\frac{d x}{d \theta}=a\left[\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \sin \theta\right)-\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \cos \theta\right)\right]$
$=a\left[e^\theta \cos \theta+e^\theta \sin \theta-e^\theta(-\sin \theta)-e^\theta \cos \theta\right]$
$=a\left[e^\theta \cos \theta+e^\theta \sin \theta+e^\theta \sin \theta-e^\theta \cos \theta\right]$
$\Rightarrow \frac{d y}{d \theta}=2 a e^\theta \sin \theta$............(1)
और $y=a e^\theta(\sin \theta+\cos \theta)$
$\frac{d y}{d \theta}=a\left[\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \sin \theta\right)+\frac{d}{d \theta}\left(e^\theta \cos \theta\right)\right]$
$=a\left[e^\theta \cos \theta+e^\theta \sin \theta+e^\theta(-\sin \theta)+e^\theta \cos \theta\right]$
$=2 a e^\theta \cos \theta$
$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 a e^\theta \cos \theta$............(2)
$\therefore \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}}=\frac{2 a e^\theta \cos \theta}{2 a e^\theta \sin \theta}=\cot \theta$
$\theta=\frac{\pi}{4}$ पर $\frac{d y}{d x}=\cot \frac{x}{4}=1$
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