वृत्त $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
example-1
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आकृति में दिए हुए वृत्त से घिरे हुए क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल $= 4 ($ दिए हुए वक्र, $x-$अक्ष एवं कोटियों $x = 0$ तथा $x = a$ से घिरे क्षेत्र $\text{AOBA}$ का क्षेत्रफल$) [$क्योंकि वृत्त $x-$अक्ष एवं $y-$अक्ष दोनों के परितः सममित है$]$
$= 4 \int_{0}^{a} y d x ($उर्ध्वाधर पट्टियाँ लेते हुए$)$
$=4 \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x$
क्योंकि $x^{2 }+ y^{2 }= a^2$ से $y = \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ प्राप्त होता है। जैसा कि क्षेत्र $\text{AOBA}$ प्रथम चतुर्थांश में सम्मिलित है इसलिए $y$ को धनात्मक लिया जाता है। समाकलन करने पर दिए हुए वृत्त से घिरा क्षेत्रफल निम्नलिखित रूप में प्राप्त होता है:
$=4\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right]_{0}^{a}$
$=4\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right]$
$=4\left(\frac{a^{2}}{2}\right)\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pi a^{2}$
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