सिद्ध कीजिए _ 0 ^ 2 ^ 3 x dx = 2 3 - Vidyadip

Question

सिद्ध कीजिए $\int_{0}^{\frac\pi 2} \sin^{3 }x dx = \frac{2}{3}$

✓

Answer

माना $I = \int_{0}^{\frac\pi 2} \sin^3 x dx = \int_{0}^{\frac\pi 2} \sin^{2 }x \sin x dx$
$= \int_{0}^{\frac\pi 2} (1 - \cos^2 x) \sin x dx (\because \sin^2 x = 1 - \cos^2x)$
$\cos x = t$ रखने पर,
$\Rightarrow -\sin x dx = dt$
जब $x = 0$
$\Rightarrow t = \cos 0 = 1,$ जब $x = \frac{\pi}{2} $
$\Rightarrow t = \cos \frac{\pi}{2} = 0$
$\therefore I =\int_{0}^{\frac\pi 2} (1 - \cos^2 x) \sin x dx = \int_{1}^{0}(1 - t^2) (-dt)$
$=-\left[t-\frac{t^{3}}{3}\right]_{1}^{0} =-\left\{(0-0)-\left(1-\frac{1}{3}\right)\right\}=\frac{2}{3}$

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