आव्यूह को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए।
$\left[\begin{array}{rr} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{rr} 1 & 5 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
Exercise-3.3-10(4)
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मान लीजिए A =$ \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ तब A$^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$
अब, A + A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$
मान लीजिए P = $ \frac{1}{2}$(A + A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ = P
अतः P =$ \frac{1}{2}$ (A + A$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 3 & 0\end{array}\right]$ = - Q.
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं
P + Q = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ = A
अब, A + A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ + $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$
मान लीजिए P = $ \frac{1}{2}$(A + A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$ $\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$
अब, P$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]^{\prime}$ = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ = P
अतः P =$ \frac{1}{2}$ (A + A$^{\prime}$) एक सममित आव्यूह है।
अब, A - A$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ - $\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 2\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$
मान लीजिए Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) = $ \frac{1}{2}$$\left[\begin{array}{cc}0 & 6 \\ -6 & 0\end{array}\right]$ = $ \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$
अब, Q$^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]^{\prime}$ = $\left[\begin{array}{cc}0 & -3 \\ 3 & 0\end{array}\right]$ = - Q.
अतः Q = $ \frac{1}{2}$ (A - A$^{\prime}$) एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः A को P तथा Q के योग द्वारा निम्न प्रकार से प्रदर्शित कर सकते हैं
P + Q = $ \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right]$ + $ \left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ -3 & 0\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}1 & 5 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ = A
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