समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
$x - y + z = 4$
$2x + y - 3z = 0$
$x + y + z = 2$
$x - y + z = 4$
$2x + y - 3z = 0$
$x + y + z = 2$
Exercise-4.5-12
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दिए गए समीकरण निकाय को निम्न रूप में लिख सकते हैं $AX = B,$ जहाँ
$A = \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], X = \left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$
यहाँ $|A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$
$= 1(1 + 3) - (- 1)(2 + 3) + 1(2 - 1) = 4 + 5 + 1$
$= 10 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। $\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है। जिसका अद्वितीय हल निम्न है
$X = A^{-1} B$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं $A_{11 }= 1 + 3 = 4, A_{12 }= - (2 + 3) = - 5, A_{13 }= 2 - 1 = 1,$
$A_{21 }= - (- 1 - 1) = 2, A_{22 }= 1 - 1 = 0, A_{23 }= - (1 + 1) = - 2,$
$A_{31 }= 3 - 1 = 2, A_{32 }= - (- 3 - 2) = 5, A_{33 }= 1 + 2 = 3$
$adj(A) = \left[\begin{array}{rrr} 4 & -5 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}\right]^{T}$
$= \left[\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$
$\therefore A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A)$
$= \frac{1}{10} \left[\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$
अब, $X = A^{-1} B$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{10} \left[\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{10}\left[\begin{array}{c} 16+0+4 \\ -20+0+10 \\ 4+0+6 \end{array}\right]$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{10}\left[\begin{array}{c} 20 \\ -10 \\ 10 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right]$
अतः $x = 2, y = - 1$ तथा $z = 1$
$A = \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], X = \left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ तथा $B = \left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$
यहाँ $|A| = \left|\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$
$= 1(1 + 3) - (- 1)(2 + 3) + 1(2 - 1) = 4 + 5 + 1$
$= 10 \neq 0$
$\therefore A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। $\Rightarrow A^{-1}$ विद्यमान है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है। जिसका अद्वितीय हल निम्न है
$X = A^{-1} B$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं $A_{11 }= 1 + 3 = 4, A_{12 }= - (2 + 3) = - 5, A_{13 }= 2 - 1 = 1,$
$A_{21 }= - (- 1 - 1) = 2, A_{22 }= 1 - 1 = 0, A_{23 }= - (1 + 1) = - 2,$
$A_{31 }= 3 - 1 = 2, A_{32 }= - (- 3 - 2) = 5, A_{33 }= 1 + 2 = 3$
$adj(A) = \left[\begin{array}{rrr} 4 & -5 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & 5 & 3 \end{array}\right]^{T}$
$= \left[\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$
$\therefore A^{-1 }= \frac{1}{|A|} (adj A)$
$= \frac{1}{10} \left[\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$
अब, $X = A^{-1} B$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{10} \left[\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & 5 \\ 1 & -2 & 3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right] $
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{10}\left[\begin{array}{c} 16+0+4 \\ -20+0+10 \\ 4+0+6 \end{array}\right]$
$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \frac{1}{10}\left[\begin{array}{c} 20 \\ -10 \\ 10 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right]$
अतः $x = 2, y = - 1$ तथा $z = 1$
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