सर्वसमिका सिद्ध कीजिए, जहाँ वह कोण जिसके लिए व्यंजक को न्यून कोण परिभाषित किया गया है:
$\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2} = \tan^2 A$
$\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2} = \tan^2 A$
Exercise-8.3-4(10)
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$\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}$
$L.H.S. = \frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}$
$\frac{1+\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}}{1+\frac{\cos ^{2} A}{\sin ^{2} A}}$ = $\frac{\cos ^{2} A+\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} \times \frac{\sin ^{2} A}{\sin ^{2} A +\cos ^{2} A}$
$= \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} = \tan^2 A$
$R.H.S. = \left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}$
$= \frac{\left(1-\frac{\sin A}{\cos A}\right)^{2}}{\left(1-\frac{\cos A}{\sin A}\right)^{2}}$
$= \left(\frac{\cos A-\sin A}{\cos A}\right)^2 \times\left(\frac{\sin A}{\sin A-\cos A}\right)^{2}$
$= \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} = \tan^2 A$
$\therefore L.H.S. = R.H.S.$
$L.H.S. = \frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}$
$\frac{1+\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}}{1+\frac{\cos ^{2} A}{\sin ^{2} A}}$ = $\frac{\cos ^{2} A+\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} \times \frac{\sin ^{2} A}{\sin ^{2} A +\cos ^{2} A}$
$= \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} = \tan^2 A$
$R.H.S. = \left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}$
$= \frac{\left(1-\frac{\sin A}{\cos A}\right)^{2}}{\left(1-\frac{\cos A}{\sin A}\right)^{2}}$
$= \left(\frac{\cos A-\sin A}{\cos A}\right)^2 \times\left(\frac{\sin A}{\sin A-\cos A}\right)^{2}$
$= \frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A} = \tan^2 A$
$\therefore L.H.S. = R.H.S.$
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