यदि $\angle $B और $\angle $Q ऐसे न्यूनकोण हों जिससे कि sin B = sin Q, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle$B = $\angle$Q
example-2
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त्रिकोणमिति का परिचय ABC और PQR ले, जहाँ sin B = sin Q
यहाँ $\sin B=\frac{A C}{A B}$
और $\sin Q=\frac{P R}{P Q}$
तब $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}$
अतः $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$ = k (मान लीजिए)
अब, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर हमें ये प्राप्त होते हैं
$\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}}$
और QR = $\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}$
अतः $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{k^{2} \mathrm{PQ}^{2}-k^{2} \mathrm{PR}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}=\frac{k \sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}=k$
(1) और (2) से हमें यह प्राप्त होता है
$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$
तब प्रमेय त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियौं का प्रयोग करने पर $\triangle \mathrm{ACB} \sim \triangle \mathrm{PRQ}$ प्राप्त होता है। अतः $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}$
यहाँ $\sin B=\frac{A C}{A B}$
और $\sin Q=\frac{P R}{P Q}$
तब $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PQ}}$
अतः $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}$ = k (मान लीजिए)
अब, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर हमें ये प्राप्त होते हैं
$\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}}$
और QR = $\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}$
अतः $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\sqrt{\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{AC}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}$ = $\frac{\sqrt{k^{2} \mathrm{PQ}^{2}-k^{2} \mathrm{PR}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}=\frac{k \sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{PQ}^{2}-\mathrm{PR}^{2}}}=k$
(1) और (2) से हमें यह प्राप्त होता है
$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}$
तब प्रमेय त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियौं का प्रयोग करने पर $\triangle \mathrm{ACB} \sim \triangle \mathrm{PRQ}$ प्राप्त होता है। अतः $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{Q}$
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