सदिश $\vec{{PQ}},$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिंदु $P$ और $Q$ क्रमशः $(1, 2, 3)$ और $(4, 5, 6)$ हैं।
Exercise-10.2-8
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दिए गए बिंदु $P(1, 2, 3)$ तथा $Q(4, 5, 6)$ हैं
$\therefore x_1 = 1, y_1 = 2, z_1 = 3$ और $x_2 = 4, y_2 = 5, z_2 = 6$
अतः सदिश $\vec{PQ} = \left(x_{2}-x_{1}\right) \hat{{i}}+\left(y_{2}-y_{1}\right) \hat{{j}} + \left(z_{2}-z_{1}\right) \hat{{k}}$
$= (4 - 1) \hat{{i}} + (5 - 2) \hat{{j}} + (6 - 3) \hat{{k}} = 3 \hat{{i}} + 3 \hat{{j}} + 3 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $X = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर,
$x = 3, y = 3$ तथा $z = 3$
दिए गए सदिश का परिमाण
$|PQ| = \sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$
अत: $PQ$ की दिशा में मात्रक सदिश इस प्रकार है,
$\frac{\vec{PQ}}{{|PQ}|} = \frac{3 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}}{3 \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \sqrt{3}}(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{{i}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{{j}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{{k}}$
$\therefore x_1 = 1, y_1 = 2, z_1 = 3$ और $x_2 = 4, y_2 = 5, z_2 = 6$
अतः सदिश $\vec{PQ} = \left(x_{2}-x_{1}\right) \hat{{i}}+\left(y_{2}-y_{1}\right) \hat{{j}} + \left(z_{2}-z_{1}\right) \hat{{k}}$
$= (4 - 1) \hat{{i}} + (5 - 2) \hat{{j}} + (6 - 3) \hat{{k}} = 3 \hat{{i}} + 3 \hat{{j}} + 3 \hat{{k}}$
उपरोक्त की तुलना $X = x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ से करने पर,
$x = 3, y = 3$ तथा $z = 3$
दिए गए सदिश का परिमाण
$|PQ| = \sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}} = \sqrt{9+9+9} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$
अत: $PQ$ की दिशा में मात्रक सदिश इस प्रकार है,
$\frac{\vec{PQ}}{{|PQ}|} = \frac{3 \hat{{i}}+3 \hat{{j}}+3 \hat{{k}}}{3 \sqrt{3}} = \frac{3}{3 \sqrt{3}}(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{{i}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{{j}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \hat{{k}}$
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