$3x^3 + x^2 + 2x + 5$ को $x + 2x + x^2$ से भाग दीजिए।
Example-7
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हम सर्वप्रथम भाजक एवं भाज्य के पदों को घटती हुई घातों के क्रम में व्यवस्थित करते हैं। याद कीजिए कि बहुपदों के पद इस प्रकार व्यवस्थित करने को बहुपद को मानक रूप में लिखना कहते हैं। इस उदाहरण में, भाज्य पहले से ही मानक रूप में है तथा मानक रूप में भाजक $x^{2 }+ 2x + 1$ है।
चरण $1:$ भागफल का पहला पद प्राप्त करने के लिए, उच्चतम घात वाले पद $($अर्थात् $3x^3)$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद (अर्थात् $x^2)$ से भाग दीजिए। यह $3x$ है। तब, भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है वह $-5x^{2 }- x + 5$ है।
चरण $2:$ अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए, नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद $($अर्थात् $-5x^2)$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद $($अर्थात् $x^2)$ से भाग कीजिए। इससे $-5$ मिलता है। पुन: भाग देने की प्रक्रिया $-5x^{2 }- x + 5$ के साथ कीजिए।
चरण $3:$ अब शेष बचे $9x + 10$ की घात भाजक $x^{2 }+ 2x + 1$ की घात से कम है। इसलिए, हम भाग देने की क्रिया को और नहीं कर सकते हैं।
इसलिए, भागफल $3x - 5$ है तथा शेषफल $9x + 10$ है। इसके अतिरिक्त,
$(x^{2 }+ 2x + 1)\times (3x - 5) + (9x + 10) $
$= 3x^{3 }+ 6x^{2 }+ 3x - 5x^{2 }- 10x - 5 + 9x + 10$
$= 3x^{3 }+ x^{2 }+ 2x + 5$
चरण $1:$ भागफल का पहला पद प्राप्त करने के लिए, उच्चतम घात वाले पद $($अर्थात् $3x^3)$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद (अर्थात् $x^2)$ से भाग दीजिए। यह $3x$ है। तब, भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है वह $-5x^{2 }- x + 5$ है।
चरण $2:$ अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए, नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद $($अर्थात् $-5x^2)$ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद $($अर्थात् $x^2)$ से भाग कीजिए। इससे $-5$ मिलता है। पुन: भाग देने की प्रक्रिया $-5x^{2 }- x + 5$ के साथ कीजिए।
चरण $3:$ अब शेष बचे $9x + 10$ की घात भाजक $x^{2 }+ 2x + 1$ की घात से कम है। इसलिए, हम भाग देने की क्रिया को और नहीं कर सकते हैं।
इसलिए, भागफल $3x - 5$ है तथा शेषफल $9x + 10$ है। इसके अतिरिक्त,
$(x^{2 }+ 2x + 1)\times (3x - 5) + (9x + 10) $
$= 3x^{3 }+ 6x^{2 }+ 3x - 5x^{2 }- 10x - 5 + 9x + 10$
$= 3x^{3 }+ x^{2 }+ 2x + 5$
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