$A(6, 1), B(8, 2)$ और$ C(9, 4)$ एक समांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ के तीन शीर्ष हैं। यदि $E$ भुजा $DC$ का मध्य$-$बिंदु है, तो $\triangle \text{ADE}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Exercise-7.4-2
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मान लीजिए $O$ विकर्णों $AC$ और $BD$ का मध्य$-$बिन्दु है।
इसलिए, $O$ के निर्देशांक हैं $\left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right) = (7.5, 2.5)$
चूँकि, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक$-$दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, हम $O$ और $C$ को जानकर बिंदु $D$ के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं। मान लीजिए $(a_1, b_1)$ बिंदु $D$ के निर्देशांक हैं।
इस प्रकार,$ \left(\frac{a_{1}+8}{2}\right) = 7.5$ और $\left(\frac{b_{1}+2}{2}\right) = 2.5$
$\Rightarrow a_1 + 8 = 15; b_1 + 2 = 5$
$\Rightarrow a_1 = 7, b_1 = 3$
अब, मान लीजिए कि $E, CD$ का मध्यबिंदु है। इस प्रकार, $E$ के निर्देशांक हैं $\left(\frac{9+7}{2}, \frac{4+3}{2}\right) = (8, 3.5)$
अत: $A, D$ और $E$ के निर्देशांक हैं: $A(6, 1), D(7, 3)$ और $E(8, 3.5)$
त्रिभुज $\text{ADE}$ का क्षेत्रफल =$ \frac{1}{2}[x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]$
$= \frac{1}{2}[6(3 - 3.5) + 7(3.5 - 1) + 8(1 - 3)]$
$= \frac{1}{2}[6(-0.5) + 7(2.5) + 8(-2)]$
$= \frac{1}{2}[-3 + 17.5 - 16]$
$= \frac{1}{2}[-1.5]$
$\therefore$ त्रिभुज $\text{ADE}$ का क्षेत्रफल $= 0.75$ वर्ग इकाई
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