यदि $(-4, 3)$ और $(4,3)$ एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के तीसरे शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है कि मूलबिंदु त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित है।
Exercise-7.4-1
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माना $B(-4, 3)$ और $C(4, 3)$ एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्ष दिए गए हैं।
माना $A(x, y)$ तीसरा शीर्ष है।
तब, हमारे पास $AB = BC = AC$ है,
मान लीजिए $AB = BC$
$\Rightarrow AB^{2 }= BC^2$
$\Rightarrow (-4 - x)^2 + (3 - y)^2 = (4 + 4)^2 + (3 - 3)^2$
$\Rightarrow 16 + x^2 + 8x + 9 + y^{2 }- 6y = 64$
$\Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 6y = 39 ...(i)$
$AB = AC$ पर विचार करें
$\Rightarrow AB^{2 }= AC^2$
$\Rightarrow (-4 - x)^{2 }+ (3 - y)^2 = (4 - x)^2 + (3 - y)^2$
$\Rightarrow 16 + x^2 + 8x = 16 + x^2 - 8x$
$\Rightarrow 16x = 0$
$\Rightarrow x = 0$
$BC = AC$ पर विचार करें
$BC^2 = AC^2$
$\Rightarrow (4 + 4)^2 + (3 - 3)^2 = (4 - x)^{2 }+ (3 - y)^2$
$\Rightarrow 8^2 + 0 = (4 - 0)^2 + (3 - y)^2$
$\Rightarrow 64 = 16 + (3 - y)^2$
$(3 - y)^2 = 48$
$3 - y = \pm 4 \sqrt{3}$
$y = 3 \pm 4 \sqrt{3}$
अत: त्रिभुज के अभ्यंतर में मूल बिन्दु होने पर तीसरे शीर्ष के निर्देशांक $= (0, 3 - 4 \sqrt{3})$
माना $A(x, y)$ तीसरा शीर्ष है।
तब, हमारे पास $AB = BC = AC$ है,
मान लीजिए $AB = BC$
$\Rightarrow AB^{2 }= BC^2$
$\Rightarrow (-4 - x)^2 + (3 - y)^2 = (4 + 4)^2 + (3 - 3)^2$
$\Rightarrow 16 + x^2 + 8x + 9 + y^{2 }- 6y = 64$
$\Rightarrow x^2 + y^2 + 8x - 6y = 39 ...(i)$
$AB = AC$ पर विचार करें
$\Rightarrow AB^{2 }= AC^2$
$\Rightarrow (-4 - x)^{2 }+ (3 - y)^2 = (4 - x)^2 + (3 - y)^2$
$\Rightarrow 16 + x^2 + 8x = 16 + x^2 - 8x$
$\Rightarrow 16x = 0$
$\Rightarrow x = 0$
$BC = AC$ पर विचार करें
$BC^2 = AC^2$
$\Rightarrow (4 + 4)^2 + (3 - 3)^2 = (4 - x)^{2 }+ (3 - y)^2$
$\Rightarrow 8^2 + 0 = (4 - 0)^2 + (3 - y)^2$
$\Rightarrow 64 = 16 + (3 - y)^2$
$(3 - y)^2 = 48$
$3 - y = \pm 4 \sqrt{3}$
$y = 3 \pm 4 \sqrt{3}$
अत: त्रिभुज के अभ्यंतर में मूल बिन्दु होने पर तीसरे शीर्ष के निर्देशांक $= (0, 3 - 4 \sqrt{3})$
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