यदि बिंदुओं $A(1, -2), B(2, 3), C(a, 2)$ और $D(-4, -3)$ से एक समांतर चतुर्भुज बनता है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए तथा $AB$ को आधार लेकर उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Exercise-7.4-4
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$A(1, -2), B(2, 3), C(a, 2)$ और $D(-4, -3)$ समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
$\Rightarrow AB = CD$ और $AD = BC$
विचार करें $AD = BC$
$\Rightarrow AD^{2 }= BC^2$
$\Rightarrow (-4 -1)^2 + (-3 + 2)^2 = (a - 2)^2 + (2 - 3)^2$
$\Rightarrow (-5)^2 = (a - 2)^2$
$\Rightarrow a - 2 = -5$
$\Rightarrow a = -3$
क्षेत्रफल $\triangle ABC = \frac{1}{2}[1(3 - 2) + 2(2 + 2) - 3(-2 - 3)]$
$= \frac{1}{2}[1 + 8 + 15]$
$= \frac{1}{2} \times 24$
$= 12$ वर्ग इकाई
एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। समांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 12 = 24$ वर्ग इकाई
$\Rightarrow$ दूरी $\times$ ऊंचाई $= 24$
$\Rightarrow \left[\sqrt{(2-1)^{2}+(3+2)^{2}}\right] \times$ ऊंचाई $= 24$
$\Rightarrow [\sqrt{1+25}] \times$ ऊंचाई $= 24$
$\Rightarrow$ ऊंचाई $= \frac{24}{\sqrt{26}}=\frac{12 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{13} \times \sqrt{2}}$
$= \frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{13}}$
$\Rightarrow AB = CD$ और $AD = BC$
विचार करें $AD = BC$
$\Rightarrow AD^{2 }= BC^2$
$\Rightarrow (-4 -1)^2 + (-3 + 2)^2 = (a - 2)^2 + (2 - 3)^2$
$\Rightarrow (-5)^2 = (a - 2)^2$
$\Rightarrow a - 2 = -5$
$\Rightarrow a = -3$
क्षेत्रफल $\triangle ABC = \frac{1}{2}[1(3 - 2) + 2(2 + 2) - 3(-2 - 3)]$
$= \frac{1}{2}[1 + 8 + 15]$
$= \frac{1}{2} \times 24$
$= 12$ वर्ग इकाई
एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। समांतर चतुर्भुज $\text{ABCD}$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 12 = 24$ वर्ग इकाई
$\Rightarrow$ दूरी $\times$ ऊंचाई $= 24$
$\Rightarrow \left[\sqrt{(2-1)^{2}+(3+2)^{2}}\right] \times$ ऊंचाई $= 24$
$\Rightarrow [\sqrt{1+25}] \times$ ऊंचाई $= 24$
$\Rightarrow$ ऊंचाई $= \frac{24}{\sqrt{26}}=\frac{12 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{13} \times \sqrt{2}}$
$= \frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{13}}$
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