ऐसे परवलयों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिंदु पर है तथा जिनका अक्ष धनात्मक $x-$अक्ष की दिशा में है।
example-8
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मान लीजिए कि उपरोक्त चर्चित परवलयों के कुल को $P$ से निर्दिष्ट किया जाता है और उस कुल के किसी सदस्य की नाभि $(a, 0)$ पर है जिसमें a एक धनात्मक स्वेच्छ अचर है $($अकृति देखिए$)।$
इसलिए कुल $P$ का समीकरण है:
$y^2 = 4ax ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं:
$2 y \frac{d y}{d x}=4 a ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $4a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर हम पाते हैं:
$y^{2}=\left(2 y \frac{d y}{d x}\right)(x)$
अथवा $y^{2}-2 x y \frac{d y}{d x}=0 ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ दिए हुए परवलयों के कुल का अवकल समीकरण है।
इसलिए कुल $P$ का समीकरण है:
$y^2 = 4ax ...(i)$
समीकरण $(i)$ के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर हम पाते हैं:
$2 y \frac{d y}{d x}=4 a ...(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $4a$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर हम पाते हैं:
$y^{2}=\left(2 y \frac{d y}{d x}\right)(x)$
अथवा $y^{2}-2 x y \frac{d y}{d x}=0 ...(iii)$
समीकरण $(iii)$ दिए हुए परवलयों के कुल का अवकल समीकरण है।
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