अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: $\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$
Exercise-9.4-1
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दिया है$, \frac{d y}{\ d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$
चरों को अलग$-$अलग करके समाकलन करने पर,
$\int d y =\int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \ d x$
$\Rightarrow y = \int {\frac{{2{{\sin }^2}(\frac{x}{2}})}{{2{{\cos }^2}(\frac{x}{2}})}dx} [\because 1 - \cos x = 2 \sin^2 (\frac{x}{2})$ तथा $1 + \cos x = 2 \cos^2 (\frac{x}{2})]$
$\Rightarrow y=\int \tan ^{2}(\frac{x}2) \ d x \left(\because1 + \tan ^{2} \frac{x}{2}=\sec ^{2} \frac{x}{2}\right)$
$\Rightarrow y=\int\left(\sec ^{2}(\frac x 2)-1\right) \ d x $
$\Rightarrow y=\int \sec ^{2}(\frac x 2) \ d x-\int 1 \ d x$
$\Rightarrow y=2 \tan \frac{x}{2}-x+C \left(\because \int \sec ^{2} x \ d x=\tan x\right)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
चरों को अलग$-$अलग करके समाकलन करने पर,
$\int d y =\int \frac{1-\cos x}{1+\cos x} \ d x$
$\Rightarrow y = \int {\frac{{2{{\sin }^2}(\frac{x}{2}})}{{2{{\cos }^2}(\frac{x}{2}})}dx} [\because 1 - \cos x = 2 \sin^2 (\frac{x}{2})$ तथा $1 + \cos x = 2 \cos^2 (\frac{x}{2})]$
$\Rightarrow y=\int \tan ^{2}(\frac{x}2) \ d x \left(\because1 + \tan ^{2} \frac{x}{2}=\sec ^{2} \frac{x}{2}\right)$
$\Rightarrow y=\int\left(\sec ^{2}(\frac x 2)-1\right) \ d x $
$\Rightarrow y=\int \sec ^{2}(\frac x 2) \ d x-\int 1 \ d x$
$\Rightarrow y=2 \tan \frac{x}{2}-x+C \left(\because \int \sec ^{2} x \ d x=\tan x\right)$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
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