अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए: $(e^x + e^{-x})dy - (e^x - e^{-x})dx = 0$
Exercise-9.4-5
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दिया है$, (e^x + e^{-x})dy - (e^x - e^{-x})dx = 0$
$\Rightarrow (e^x + e^{-x})dy - (e^x - e^{-x})dx$
चरों के पृथक्करण से$, d y=\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x$
समाकलन करने पर$, \int d y=\int\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x$
माना $e^x + e^{-x} = t$
$\Rightarrow e^x - e^{-x} = \frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{e^{x}-e^{-x}}$
$\therefore \int d y=\int \frac{e^{x}-e^{-x}}{t} \frac{d t}{e^{x}-e^{-x}}=\int \frac{1}{t} d t$
$\Rightarrow y = \log |t| + C$
$\Rightarrow y = \log |e^x + e^{-x}| + C$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
$\Rightarrow (e^x + e^{-x})dy - (e^x - e^{-x})dx$
चरों के पृथक्करण से$, d y=\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x$
समाकलन करने पर$, \int d y=\int\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x$
माना $e^x + e^{-x} = t$
$\Rightarrow e^x - e^{-x} = \frac{d t}{d x}$
$\Rightarrow d x=\frac{d t}{e^{x}-e^{-x}}$
$\therefore \int d y=\int \frac{e^{x}-e^{-x}}{t} \frac{d t}{e^{x}-e^{-x}}=\int \frac{1}{t} d t$
$\Rightarrow y = \log |t| + C$
$\Rightarrow y = \log |e^x + e^{-x}| + C$
जोकि अभीष्ट व्यापक हल है।
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