बिंदु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ = 2 के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-8
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दिया गया समतल निम्न है, $\vec{r} \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = 2 ...(i)
समतल (i) के समांतर समतल का समीकरण निम्न है,
$\vec{r} \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})=d$ ...(ii)
या $(x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})=d$
चूँकि यह बिंदु (a, b, c) से होकर जाता है।
$\therefore (a \hat{{i}}+b \hat{{j}}+c \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})=d$
$\Rightarrow$ a + b + c = d
समी (ii) में $\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ तथा d = a + b + c रखने पर,
$(x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = a + b + c
$\Rightarrow$ x + y + z = a + b + c
जोकि अभीष्ट समतल का समीकरण है।
समतल (i) के समांतर समतल का समीकरण निम्न है,
$\vec{r} \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})=d$ ...(ii)
या $(x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})=d$
चूँकि यह बिंदु (a, b, c) से होकर जाता है।
$\therefore (a \hat{{i}}+b \hat{{j}}+c \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})=d$
$\Rightarrow$ a + b + c = d
समी (ii) में $\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ तथा d = a + b + c रखने पर,
$(x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}) \cdot(\hat{{i}}+\hat{{j}}+\hat{{k}})$ = a + b + c
$\Rightarrow$ x + y + z = a + b + c
जोकि अभीष्ट समतल का समीकरण है।
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