बिंदु जिसकी स्थिति सदिश $2 \hat{i}-j+4 \hat{k}$ से गुज़रने व सदिश $\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
Exercise-11.2-5
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दिया है, रेखा बिंदु $\vec{a}$ = $2 \hat{{i}}-\hat{{j}}+4 \hat{{k}}$ तथा $\vec{b}$ = $\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-\hat{{k}}$ से होकर जाती है। अतः रेखा का समीकरण निम्न है $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$, जहाँ $\lambda$ अचर है।
$\therefore$ $\vec{r}=2 \hat{ {i}}-\hat{{j}}+4 \hat{{k}}+\lambda(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-\hat{{k}})$
जोकि सदिश रूप में रेखा का अभीष्ट समीकरण है।
माना $\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$
$\therefore$ $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ = $(\lambda+2) \hat{{i}}+(2 \lambda-1) \hat{{j}}+(-\lambda+4) \hat{{k}}$
$\lambda$ का विलोपन करने पर कार्तीय समीकरण निम्न है
$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{-1}$
जोकि कार्तीय रूप में अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
$\therefore$ $\vec{r}=2 \hat{ {i}}-\hat{{j}}+4 \hat{{k}}+\lambda(\hat{{i}}+2 \hat{{j}}-\hat{{k}})$
जोकि सदिश रूप में रेखा का अभीष्ट समीकरण है।
माना $\vec{r}=x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$
$\therefore$ $x \hat{{i}}+y \hat{{j}}+z \hat{{k}}$ = $(\lambda+2) \hat{{i}}+(2 \lambda-1) \hat{{j}}+(-\lambda+4) \hat{{k}}$
$\lambda$ का विलोपन करने पर कार्तीय समीकरण निम्न है
$\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{-1}$
जोकि कार्तीय रूप में अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
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