$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right|$ के लिए गुणधर्म $1$ का सत्यापन कीजिए।
EXAMPLE-6
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सारणिक का प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर,
$\Delta = 2\left|\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{array}\right| - (- 3) \left|\begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right|$
$= 2(0 - 20) + 3(- 42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= - 40 - 138 + 150 = - 28$
पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तन करने पर हमें प्राप्त होता है।
$\Delta_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ 5 & 4 & -7 \end{array}\right| ($पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसरण करने पर$)$
$= 2\left|\begin{array}{cc} 0 & 5 \\ 4 & -7 \end{array}\right| - (- 3) \left|\begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 4 & -7 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 0 & 5 \end{array}\right| $
$= 2(0 - 20) + 3(- 42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= - 40 - 138 + 150 = - 28$
स्पष्टतः
$\Delta = \Delta_1$
अतः गुणधर्म $1$ सत्यापित हुआ।
$\Delta = 2\left|\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{array}\right| - (- 3) \left|\begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right|$
$= 2(0 - 20) + 3(- 42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= - 40 - 138 + 150 = - 28$
पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तन करने पर हमें प्राप्त होता है।
$\Delta_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ 5 & 4 & -7 \end{array}\right| ($पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसरण करने पर$)$
$= 2\left|\begin{array}{cc} 0 & 5 \\ 4 & -7 \end{array}\right| - (- 3) \left|\begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 4 & -7 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 0 & 5 \end{array}\right| $
$= 2(0 - 20) + 3(- 42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= - 40 - 138 + 150 = - 28$
स्पष्टतः
$\Delta = \Delta_1$
अतः गुणधर्म $1$ सत्यापित हुआ।
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