Question 11 Mark
यदि $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right]$ , जहाँ $0 \leq \theta \le 2 \pi$ हो तो:
Answerदिया है, $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right] |A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right|$
$= 1(1+ \sin ^2 \theta ) - \sin \theta (- \sin \theta + \sin \theta ) + 1(\sin^2\theta + 1)$
$= 2 + 2 \sin^2 \theta$
$0 \leq \theta \leq 2 \pi$ के लिए, $- 1 \leq sin \theta \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \sin^2 \theta \leq 1$
$\Rightarrow 1 \leq 1 + \sin^2 \theta$
$\leq 2 \Rightarrow 2 \leq 2(1 + \sin^2 \theta ) \leq 4$
$\therefore det (A) \in [2, 4]$
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यदि $x, y, z$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह $A = \left[\begin{array}{lll} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right]$ का व्युत्क्रम है:
Answerदिया है, $A = \left[\begin{array}{lll} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right]$
$|A| = \left|\begin{array}{lll} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right| = x(yz - 0) = xyz \neq 0 ( \because x, y $ तथा $z$ अशून्य हैं$)$
$A$ के सहखण्ड निम्न हैं
$A_{11 }= (yz - 0) = yz, A_{12 }= - (0 - 0) = 0, A_{13} = 0 - 0 = 0,$
$A_{21 }= - (0 - 0) = 0, A_{22 }= xz - 0 = xz, A_{23 }= - (0 - 0) = 0$
$A_{31 }= 0 - 0 = 0, A_{32 }= - (0 - 0) = 0, A_{33 }= (xy - 0) = xy,$
$\therefore adj (A) = \left[\begin{array}{ccc} y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y \end{array}\right]^{\top} = \left[\begin{array}{ccc} y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y \end{array}\right]$
अब, $\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{|A|}(\operatorname{adj} \mathrm{A})=\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{ccc}y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right]$
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यदि $a, b, c$ समांतर श्रेढ़ी में हों तो सारणिक $\left|\begin{array}{lll} x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c \end{array}\right|$ का मान होगा:
Answerमाना $A = \left|\begin{array}{ccc} x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c \end{array}\right| = \frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc} x+2 & x+3 & x+2 a \\ 0 & 0 & 2(2 b-a-c) \\ x+4 & x+5 & x+2 c \end{array}\right|$ $(R_2 \rightarrow 2R_{2 }- R_{1 }- R_{3 }$ से$)$
$\therefore a, b, c$ समांतर श्रेणी में है।
$\therefore 2b = a + c$
तब, $A = \frac{1}{2} \left|\begin{array}{ccc} x+2 & x+3 & x+2 a \\ 0 & 0 & 0 \\ x+4 & x+5 & x+2 c \end{array}\right| = 0$ $($चूँकि $R_2$ के प्रत्येक अवयव शून्य हैं$)$
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यदि $A$ कोटि दो का व्युत्क्रमीय आव्यूह है तो $det (A^{-1})$ बराबर:
Answerहम जानते हैं कि $A A^{-1} = 1$
$\therefore |A A^{-1}| = |l| \Rightarrow |A| |A^{-1}| = 1 (\because |A A^{-1}| = |A| |A^{-1}|$ तथा $|I| = 1$ से $)$
$\Rightarrow |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{\operatorname{det}(A)}$
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यदि $A, 3 \times 3$ कोटि का वर्ग आव्यूह है तो $|adj A|$ का मान है:
Answerहम जानते हैं कि $(adj A)A = |A| I = |A| \left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{rrr} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{array}\right]$
$\Rightarrow |(adj A) A| = \left|\begin{array}{rrr} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{array}\right| = |A|^{3 }|I|$
$\Rightarrow |adj A||A| = |A|^{3 }(\because |I| = 1)$
$\therefore |{adj} A)| = | A |^2$
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आव्यूह का सहखंडज $($adjoint$)$ ज्ञात कीजिए: $\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$
Answerमाना $A = \left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]$
$\therefore A_{11} = 4, A_{12} = - 3, A_{21} = - 2$ तथा $A_{22} = 1$
$\therefore$ अतः $adj A = \left[\begin{array}{ll} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{array}\right]^{T}$
$= \left[\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{array}\right]^{T} $
$= \left[\begin{array}{cc} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{array}\right]$
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यदि $\Delta = \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ और $a_{ij }$ का सहखंड $A_{ij}$ हो तो $ \Delta$ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
Answer$\Delta,$ किसी पंक्ति $($या स्तंभ$)$ के अवयवों तथा उनके संगत सहखंडों के गुणनफल के योग के बराबर होता है।
$\Delta = a_{11 }A_{11 }+ a_{12} A_{12} + a_{13 }A_{13}$ या $a_{21}A_{21 }+ a_{22} A_{22 }+ a_{23 }A_{23}$
या $= a_{31 }A_{31 }+ a_{32} A_{32 }+ a_{33 }A_{33}$ या $a_{11}A_{11 }+ a_{21} A_{21 }+ a_{31 }A_{31}$
या $= a_{12 }A_{12 }+ a_{22} A_{22}+ a_{32 }A_{32}$ या $a_{13}A_{13 }+ a_{23} A_{23 }+ a_{33}A_{33}$
प्रथम स्तंभ के अवयवों तथा उनके संगत सहखण्डों के गुणनफल का योग
$\Delta= a_{11}A_{11 }+ a_{21} A_{21}+ a_{31 }A_{31}$
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यदि शीर्ष (2, - 6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो तो k का मान है:
Answerदिया है, $\frac{1}{2}$ $\left|\begin{array}{ccc} 2 & -6 & 1 \\ 5 & 4 & 1 \\ k & 4 & 1 \end{array}\right|$ = 35
$\Rightarrow$ |2(4 - 4) + 6(5 - k) + 1(20 - 4k)| = 70
$\Rightarrow$ 2(4 - 4) + 6(5 - k) + 1(20 - 4k) = $\pm$ 70 $\Rightarrow$ 30 - 6k + 20 - 4k = $\pm$ 70
'+' चिन्ह लेने पर, -10k + 50 = 70 $\Rightarrow$ -10k = 20 $\Rightarrow$ k = -2
'-' चिन्ह लेने पर, -10k + 50 = -70 $\Rightarrow$ -10k = - 120 $\Rightarrow$ k = 12
$\therefore$ k = 12, - 2
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सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerमाना बिंदु P(x, y), बिंदुओं A(3, 1) तथा B(9, 3) को मिलाने वाली रेखा पर स्थित है। तब, बिंदु A, B, P संरेखीय होगें और इनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
$\therefore$ $\frac12$$\left|\begin{array}{lll} 3 & 1 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|$ = 0
$\Rightarrow$ $\frac12$ |3(3 - y) - 1(9 - x) + 1(9y - 3x)| = 0
$\Rightarrow$ 9 - 3y - 9 + x + 9y - 3x = 0 $\Rightarrow$ 6y - 2x = 0 $\Rightarrow$ x - 3y = 0
अतः दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का समीकरण x - 3y = 0 है।
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सारणिकों का प्रयोग करके $(1, 2)$ और $(3, 6)$ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Answerरेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए $\frac{1}{2}$$\left|\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{array}\right| = 0$ का प्रयोग करते हैं, जहाँ $(x_1, y_1)$ तथा $(x_2, y_2)$ दिए गए बिंदु हैं तथा $(x_3, y_3) = (x, y)$ है।
माना बिंदु $P(x, y),$ बिंदुओं $A(1, 2)$ तथा $B(3, 6)$ को मिलने वाली रेखा पर स्थित है। तब, बिंदु $\text{A, B, P}$ संरेखीय होंगे और इनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
$\therefore \frac{1}{2} \left|\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right| = 0$ $\Rightarrow \frac{1}{2} [1(6 - y) - 2(3 - x) + 1(3 y - 6x)] = 0$
$\Rightarrow 6 - y - 6 + 2x + 3y - 6x = 0$
$\Rightarrow 2y - 4 x = 0 $
$\Rightarrow y = 2x$
अतः दिए गए बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा का समीकरण $y = 2x$ है।
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यदि $A = \left[\begin{array}{cc} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] $ है तो दर्शाइए कि $A^{2 }- 5A + 7I = O$ है इसकी सहायता से $A^{-1}$ ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, $A = \left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
$\therefore A^{2 }= A A = \left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 9-1 & 3+2 \\ -3-2 & -1+4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] $
अब, $A^{2 }- 5A + 7I$
$= \left[\begin{array}{rr} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] - 5\left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right] + 7\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rr} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{array}\right] - \left[\begin{array}{rr} 15 & 5 \\ -5 & 10 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{ll} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{array}\right]$
$= \left[\begin{array}{rr} 8-15+7 & 5-5+0 \\ -5+5+0 & 3-10+7 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] = 0$
$\therefore A^{2 } 5A + 7I = 0$
$\because |A| = \left|\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right| = 6 + 1 = 7 \neq 0 \therefore A^{-1}$ विद्यमान है।
अब,
$A \cdot A - 5A = - 7I$
दोनों तरफ $A^{-1}$ से गुणा करने पर,
$A \cdot A (A^{-1}) - 5 A A^{-1 }= - 7 \mid A^{-1}$
$\Rightarrow Al - 5l = -7A^{-1} (\because A A^{-1 }= I$ तथा $I A^{-1 }= A^{-1 }$ से$)$
$\Rightarrow A^{-1 }= - \frac{1}{7} (A - 5I) $
$\Rightarrow A^{-1 }= \frac{1}{7} (5l - A)$
$= \frac{1}{7}$$ \left(\left[\begin{array}{ll} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{rr} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\right) $
$= \frac{1}{7}$ $\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array}\right]$
$\therefore A^{-1 }= \frac{1}{7} \left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array}\right]$
View full question & answer→Question 121 Mark
यदि $ \left|\begin{array}{cc} x & 2 \\ 18 & x \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cc} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{array}\right|$ हो तो $x$ बराबर है:
Answerदिया है, $\left|\begin{array}{cc} x & 2 \\ 18 & x \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} 6 & 2 \\ 18 & 6 \end{array}\right|$
दोनों सारणिक का विस्तार करने पर,
$x \times x - 18 \times 2 = 6 \times 6 - 18 \times 2 $
$\Rightarrow x^2 - 36 = 36 - 36$
$\Rightarrow x^2 - 36 = 0 $
$\Rightarrow x^2 = 36$
$\Rightarrow x = \pm 6$
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x मान ज्ञात कीजिए यदि $\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cc} x & 3 \\ 2 x & 5 \end{array}\right|$
Answerदिया है, $\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{array}\right|$ = $\left|\begin{array}{cc} x & 3 \\ 2 x & 5 \end{array}\right|$
दोनों सारणिक का विस्तार करने पर,
2 $\times$ 5 - 4 $\times$ 3 = 5 $\times$ x - 3 $\times$ 2x $\Rightarrow$ 10 - 12 = 5x - 6x $\Rightarrow$ -2 = -x $\Rightarrow$ x = 2
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$x$ के मान ज्ञात कीजिए यदि $\left|\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} 2 x & 4 \\ 6 & x \end{array}\right|$
Answerदिया है, $\left|\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 5 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} 2 x & 4 \\ 6 & x \end{array}\right|$
दोनों सारणिक का विस्तार करने पर,
$2 \times1 - 5 \times 4 = 2 \times x \times- 6 \times 4$
$\Rightarrow 2 - 20 = 2 x^2 - 24$
$\Rightarrow 2x^{2 }= - 18 + 24 $
$\Rightarrow x^2 = \frac{6}{2} = 3$
$\Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$
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यदि A =$\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 4 & 9 \end{array}\right] $, हो तो |A| ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है, A =$\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 4 & 9 \end{array}\right] $,
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर
|A| = 1 $\left|\begin{array}{ll} 1 & -3 \\ 4 & -9 \end{array}\right|$ - 1 $\left|\begin{array}{ll} 2 & -3 \\ 5 & -9 \end{array}\right|$ + (-2) $\left|\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{array}\right|$
= 1(- 9 + 12) - 1(- 18 + 15) - 2(8 - 5)
= 1(3) - 1(- 3) - 2(3) = 3 + 3 - 6 = 0
View full question & answer→Question 161 Mark
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमाना A = $\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{array}\right|$
द्वितीय पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
|A| = 0 $\left|\begin{array}{rr} -1 & -2 \\ -5 & 0 \end{array}\right|$ + 2$\left|\begin{array}{rr} 2 & -2 \\ 3 & 0 \end{array}\right|$ - (-1)$\left|\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 3 & -5 \end{array}\right|$
= 0 + 2(0 + 6) + (- 10 + 3) = 12 - 7 = 5
View full question & answer→Question 171 Mark
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमाना A = $\left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ -2 & 3 & 0 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
|A| = 0 $\left|\begin{array}{cc} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{array}\right|$ - 1$\left|\begin{array}{cc} -1 & -3 \\ -2 & 0 \end{array}\right|$ + 2$\left|\begin{array}{ll} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{array}\right|$ = - 1(0 - 6) + 2( -3 - 0)
= - 1(- 6) + 2(- 3) = 6 - 6 = 0
View full question & answer→Question 181 Mark
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमाना A = $\left|\begin{array}{ccc} 3 & -4 & 5 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right|$
प्रथम पंक्ति के अवयवों के संगत विस्तार करने पर,
|A| = 3 $\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{array}\right|$ - (-4) $\left|\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{array}\right|$ + 5 $\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{array}\right|$
= 3 (1 + 6) + 4(1 + 4) + 5(3 - 2)
= 3 (7) + 4(5) + 5(1) = 21 + 20 + 5 = 46
View full question & answer→Question 191 Mark
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer माना A = $\left|\begin{array}{rrr} 3 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 3 & -5 & 0 \end{array}\right|$
चूँकि दूसरी पंक्ति में दो अवयव शून्य हैं, अतः सारणिक का विस्तार दूसरी पंक्ति के अवयवों के संगत करने पर
|A| = - 0 $\left|\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -5 & 0 \end{array}\right|$ + $0\left|\begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 3 & 0 \end{array}\right|$ - (-1) $\left|\begin{array}{ll} 3 & -1 \\ 3 & -5 \end{array}\right|$ = 3 $\times$ (-5) - 3 $\times$ (-1)
= - 15 + 3 = -12
View full question & answer→Question 201 Mark
$\left|\begin{array}{cc} x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\left|\begin{array}{cc} x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1 \end{array}\right| $
$= (x^2 - x + 1) (x + 1) - (x + 1) (x - 1)$
$= x^{3 }- x^{2 }+ x + x^{2 }- x + 1 - (x^2 - 1)$
$= x^3 + 1 - (x^2 - 1) $
$= x^3 - x^2 + 2$
View full question & answer→Question 211 Mark
$\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right|$
$ = (\cos \theta)(\cos \theta) - (\sin \theta)(-\sin \theta)$
$= \cos^2\theta + \sin^2 \theta$
$= 1(\because \sin^2\theta + \cos^2 \theta = 1)$
View full question & answer→Question 221 Mark
$\left|\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerमाना A = $ \left[\begin{array}{rr} 2 & 4 \\ -5 & -1 \end{array}\right] $ जोकि एक वर्ग आव्यूह है।
$\therefore$ |A| = 2 $\times$(-1) - (-5) $\times$ 4 = - 2 + 20 = 18
View full question & answer→Question 231 Mark
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} 3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerपहली पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta = 3(6 - 6) - 2(6 - 9) + 3(4 - 6)$
$= 0 - 2(- 3) + 3(- 2) = 6 - 6 = 0$
यहाँ $R_2$ और $R_3$ समान हैं।
View full question & answer→Question 241 Mark
यदि $\Delta$ = $ \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right|$ है तो गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।
Answerहम ज्ञात कर चुके हैं कि $\Delta = \left|\begin{array}{rrr} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right| = - 28$
$R_2$ और $R_3$ को परस्पर परिवर्तित करने पर अर्थात् $R_2 \leftrightarrow R_3$ से
$\Delta_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 5 & -7 \\ 6 & 0 & 4 \end{array}\right|$ प्राप्त होता है।
सारणिक $\Delta_{1}$ को पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर हम प्राप्त करते हैं कि
$\Delta_{1} = 2\left|\begin{array}{cc} 5 & -7 \\ 0 & 4 \end{array}\right| - (-3) \left|\begin{array}{cc} 1 & -7 \\ 6 & 4 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 6 & 0 \end{array}\right|$
$= 2(20 - 0) + 3(4 + 42) + 5(0 - 30)$
$= 40 + 138 - 150 = 28$
$\Delta_{1} = - \Delta$
स्पष्टतया
अतः गुणधर्म $2$ सत्यापित हुआ।
View full question & answer→Question 251 Mark
$ \Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{array}\right|$ के लिए गुणधर्म $1$ का सत्यापन कीजिए।
Answerसारणिक का प्रथम पंक्ति के अनुदिश प्रसरण करने पर,
$\Delta = 2\left|\begin{array}{cc} 0 & 4 \\ 5 & -7 \end{array}\right| - (- 3) \left|\begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 1 & -7 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 6 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}\right|$
$= 2(0 - 20) + 3(- 42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= - 40 - 138 + 150 = - 28$
पंक्तियों और स्तंभों को परस्पर परिवर्तन करने पर हमें प्राप्त होता है।
$\Delta_{1} = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ 5 & 4 & -7 \end{array}\right| ($पहले स्तंभ के अनुदिश प्रसरण करने पर$)$
$= 2\left|\begin{array}{cc} 0 & 5 \\ 4 & -7 \end{array}\right| - (- 3) \left|\begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 4 & -7 \end{array}\right| + 5\left|\begin{array}{cc} 6 & 1 \\ 0 & 5 \end{array}\right| $
$= 2(0 - 20) + 3(- 42 - 4) + 5(30 - 0)$
$= - 40 - 138 + 150 = - 28$
स्पष्टतः
$\Delta = \Delta_1$
अतः गुणधर्म $1$ सत्यापित हुआ।
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यदि $\left|\begin{array}{ll} 3 & x \\ x & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array}\right|$ तो $x$ के मान ज्ञात कीजिए।
Answerदिया है कि $\left|\begin{array}{ll} 3 & x \\ x & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array}\right|$
अर्थात् $3 - x^2 = 3 - 8$
अर्थात् $x^2 = 8$
अतः $x = \pm 2 \sqrt{2}$
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सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answerध्यान दीजिए कि तीसरे स्तंभ में दो प्रविष्टियाँ शून्य हैं। इसलिए तीसरे स्तंभ $(C_3)$ के अनुदिश प्रसरण करने पर हमें प्राप्त होता है कि
$\Delta = 4\left|\begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{array}\right| + 0\left|\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array}\right|$
$= 4 (-1 - 12) - 0 + 0 = -52$
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आव्यूह $A = \left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{array}\right]$ का सहखंडज ज्ञात कीजिए।
Answerहम जानते हैं कि $A_{11} = 4, A_{12 }= - 1, A_{21 }= - 3, A_{22 }= 2$
अतः $adj\ A = \left[\begin{array}{ll} \mathrm{A}_{11} & \mathrm{~A}_{21} \\ \mathrm{~A}_{12} & \mathrm{~A}_{22} \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right]$
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$\left|\begin{array}{cc} x & x+1 \\ x-1 & x \end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\left|\begin{array}{cc} x & x+1 \\ x-1 & x \end{array}\right|$
$= x(x) - (x + 1) (x - 1)$
$= x^2 - (x^2 - 1)$
$= x^2 - x^2+ 1$
$= 1$
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सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right|$ में अवयव $6$ का उपसारणिक ज्ञात कीजिए।
Answerक्योंकि $6$ दूसरी पंक्ति एवं तृतीय स्तंभ में स्थित है। इसलिए इसका उपसारिणक $= M_{23}$ निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होता है।
$M_{23} = \left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array}\right| = 8 - 14 = - 6 (\Delta$ से $R_{2 }$ और $C_{3 }$ हटाने पर$)$
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$\left|\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{array}\right| $ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer$\left|\begin{array}{cc} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{array}\right|$ = 2(2) - 4(-1) = 4 + 4 = 8
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मैट्रिक्स $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right]$ का सहखण्डज आव्यूह $(\operatorname{adj} A)$ ज्ञात कीजिए।
Answer$A=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right]$ का सहखण्डज आव्यूह $(\operatorname{adj} A):$ अग्रग विकर्ण को बदलें और अन्य के चिह्न बदलें: $\operatorname{adj} A=\left[\begin{array}{cc}4 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right]$
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