धातु की एक बेलनाकार छड़ अपने दो सिरों पर दो ऊष्मा भंडारों के तापीय सम्पर्क में हैं। यह $t$ समय में $Q$ ऊष्मा का चालन करती है। इस छड़ को पिघलाकर उससे एक अन्य छड़ बना दी जाती है, जिसकी त्रिज्या पहली छड़ की त्रिज्या की आधी है। यदि इस नई छड़ के सिरे उन्हीं ऊष्मा भंडारों के तापीय सम्पर्क में रखा जाय तो, इस छड़ द्वारा $t$ समय में चालित ऊष्मा कितनी होगी?
[2010]
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ऊष्मा प्रवाह की दर दी जाती है
$ \frac{Q}{t}=\text { K. A. } \frac{\Delta T}{\ell} $
वास्तविक छड़ $A$ का क्षेत्रफल $=\pi R^2$;
नई छड़ $A \ ^{\prime}$ का क्षेत्रफल $=\frac{\pi R^2}{4}$.
वास्तविक छड़ का आयतन, नई छड़ के आयतन के बराबर है।
$ \therefore \pi R^2 \ell=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2 \ell^{\prime} $
$\Rightarrow \frac{\ell^{\prime}}{\ell}=\frac{R^2}{\left(\frac{R^2}{4}\right)}=4$
$\therefore \frac{Q^{\prime}}{Q}=\frac{A^{\prime}}{A} \frac{\ell}{\ell^{\prime}}$
$=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
$\therefore Q\ ^{\prime}=\frac{Q}{16} $
$ \frac{Q}{t}=\text { K. A. } \frac{\Delta T}{\ell} $
वास्तविक छड़ $A$ का क्षेत्रफल $=\pi R^2$;
नई छड़ $A \ ^{\prime}$ का क्षेत्रफल $=\frac{\pi R^2}{4}$.
वास्तविक छड़ का आयतन, नई छड़ के आयतन के बराबर है।
$ \therefore \pi R^2 \ell=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2 \ell^{\prime} $
$\Rightarrow \frac{\ell^{\prime}}{\ell}=\frac{R^2}{\left(\frac{R^2}{4}\right)}=4$
$\therefore \frac{Q^{\prime}}{Q}=\frac{A^{\prime}}{A} \frac{\ell}{\ell^{\prime}}$
$=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{16}$
$\therefore Q\ ^{\prime}=\frac{Q}{16} $
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