दो सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ के लिए सदैव $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$ (त्रिभुज-असमिका)
example-20
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दी हुई असमिका, दोनों स्थितियों $\vec{a}$ = 0 या $\vec{b}$ = 0 में सहज रूप से स्पष्ट है। इसलिए मान लीजिए कि $|\vec{a}| \neq \overrightarrow{0} \neq|\vec{b}|$ तब
$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}$ = $(\vec{a}+\vec{b})^{2}$ = $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})$
= $\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}$ + $\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}$
= $|\vec{a}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}$ (अदिश गुणनफल क्रम विनिमय है)
$\leq|\vec{a}|^{2}$ + $2|\vec{a} \cdot \vec{b}|+|\vec{b}|^{2}$ (क्योंकि x$ \leq|x| \forall x \in$ R)
$\leq|\vec{a}|^{2}$ + $2|\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}|^{2}$
= $(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2}$
अतः $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$
$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}$ = $(\vec{a}+\vec{b})^{2}$ = $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})$
= $\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}$ + $\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}$
= $|\vec{a}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^{2}$ (अदिश गुणनफल क्रम विनिमय है)
$\leq|\vec{a}|^{2}$ + $2|\vec{a} \cdot \vec{b}|+|\vec{b}|^{2}$ (क्योंकि x$ \leq|x| \forall x \in$ R)
$\leq|\vec{a}|^{2}$ + $2|\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}|^{2}$
= $(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^{2}$
अतः $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$
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