Question
दर्शाइए कि $\sin ^{-1} \frac{3}{5}-\sin ^{-1} \frac{8}{17} = \cos ^{-1} \frac{84}{85}$
✓
Answer
मान लीजिए कि $\sin ^{-1} \frac{3}{5}=x$ और $\sin ^{-1} \frac{8}{17}=y$
इसलिए $\sin x=\frac{3}{5}$ तथा $\sin y=\frac{8}{17}$
अब $\cos x = \sqrt{1-\sin ^{2} x} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5} $
और $\cos y=\sqrt{1-\sin ^{2} y} = \sqrt{1-\frac{64}{289}} = \frac{15}{17}$
इस प्रकार $\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$= \frac{4}{5} \times \frac{15}{17}+\frac{3}{5} \times \frac{8}{17} = \frac{84}{85}$
इसलिए $x - y = \cos^{-1} \left(\frac{84}{85}\right)$
अतः $\sin^{-1} \frac{3}{5}-\sin ^{-1} \frac{8}{17} = \cos^{-1 }\frac{84}{85}$
इसलिए $\sin x=\frac{3}{5}$ तथा $\sin y=\frac{8}{17}$
अब $\cos x = \sqrt{1-\sin ^{2} x} = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{4}{5} $
और $\cos y=\sqrt{1-\sin ^{2} y} = \sqrt{1-\frac{64}{289}} = \frac{15}{17}$
इस प्रकार $\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$= \frac{4}{5} \times \frac{15}{17}+\frac{3}{5} \times \frac{8}{17} = \frac{84}{85}$
इसलिए $x - y = \cos^{-1} \left(\frac{84}{85}\right)$
अतः $\sin^{-1} \frac{3}{5}-\sin ^{-1} \frac{8}{17} = \cos^{-1 }\frac{84}{85}$
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