एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिन्ह X अंकित है और शेष 15 पर चिह्न Y अंकित है। कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिह्न को नोट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें निकाली जाती हों, तो अग्रलिखित 2 से अधिक पर चिन्ह Y अंकित नहीं हो की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-5(2)
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n = 6 परीक्षण के लिये यह प्रयोग एक बरनौली परीक्षण है। मान लीजिए कि यहाँ चिन्ह X अंकित गेंदों का कलश में से निकलना 'सफलता' हैं।
p = P(पहली निकालने में सफलता) = $ \frac{10}{25}$ = $\frac{2}{5} $ $\Rightarrow $ q = 1 - $ \frac{2}{5}$ = $\frac{3}{5}$
स्पष्टतः Z बटंन, n = 6, p = $\frac{2}{5} $ तथा q = $\frac{3}{5}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$\therefore$ P(Z = r) = $ { }^{7} C, p q^{n-r}$ = $ { }^{6} C,\left(\frac{2}{5}\right)^{r}$$\left(\frac{3}{5}\right)^{6-r}$
P(2 से अधिक पर चिन्ह 'Y' अंकित नही हो) = P(4 से कम पर चिन्ह X अंकित न हो) = P(न्यूनतम 4 सफलताएँ)
= P(4) + P(5) + P(6)
= $ { }^{6} \mathrm{C}_{4} p^{4} q^{2}$$+{ }^{6} \mathrm{C}_{5} p^{5} q$$+{ }^{6} \mathrm{C}_{6} p^{6} q^{0}$$\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{0}$
= $ { }^{6} C_{4}$$\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$+{ }^{6} C_{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{5}$$\left(\frac{3}{5}\right)^{1}$$+{ }^{6} C_{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{6} $
= 15$ \times\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$ \frac{9}{25}+$$6 \times\left(\frac{2}{5}\right)^{5} $$\times \frac{3}{5}+1$$ \times\left(\frac{2}{5}\right)^{6} $$\times 1$
= $ \left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$\left[\frac{27}{5}+\frac{36}{25}+\frac{4}{25}\right]$ = $\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$\left[\frac{135+36+4}{25}\right]$ = $\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$ \times \frac{175}{25}$ = $7\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$
p = P(पहली निकालने में सफलता) = $ \frac{10}{25}$ = $\frac{2}{5} $ $\Rightarrow $ q = 1 - $ \frac{2}{5}$ = $\frac{3}{5}$
स्पष्टतः Z बटंन, n = 6, p = $\frac{2}{5} $ तथा q = $\frac{3}{5}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$\therefore$ P(Z = r) = $ { }^{7} C, p q^{n-r}$ = $ { }^{6} C,\left(\frac{2}{5}\right)^{r}$$\left(\frac{3}{5}\right)^{6-r}$
P(2 से अधिक पर चिन्ह 'Y' अंकित नही हो) = P(4 से कम पर चिन्ह X अंकित न हो) = P(न्यूनतम 4 सफलताएँ)
= P(4) + P(5) + P(6)
= $ { }^{6} \mathrm{C}_{4} p^{4} q^{2}$$+{ }^{6} \mathrm{C}_{5} p^{5} q$$+{ }^{6} \mathrm{C}_{6} p^{6} q^{0}$$\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{0}$
= $ { }^{6} C_{4}$$\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$+{ }^{6} C_{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{5}$$\left(\frac{3}{5}\right)^{1}$$+{ }^{6} C_{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{6} $
= 15$ \times\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$ \frac{9}{25}+$$6 \times\left(\frac{2}{5}\right)^{5} $$\times \frac{3}{5}+1$$ \times\left(\frac{2}{5}\right)^{6} $$\times 1$
= $ \left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$\left[\frac{27}{5}+\frac{36}{25}+\frac{4}{25}\right]$ = $\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$\left[\frac{135+36+4}{25}\right]$ = $\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$$ \times \frac{175}{25}$ = $7\left(\frac{2}{5}\right)^{4}$
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