फलन f, के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ f द्वारा परिभाषित है:
Exercise-5.1-14
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यहाँ ,
चूँकि 0 $\leq $ x < 1 के लिए, f(x) = 3 तथा 1< x < 3 के लिए f(x) = 4 तथा 3 < x < 10 के लिए f(x) = 5 अचर फलन है, अतः सतत् फलन है। अब हम केवल x = 1 तथा x = 3 पर सतत्ता का परीक्षण करेंगे।
x = 1 पर, LHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ (3) = 3 तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ (4) = 4
$\therefore $ LHL $ \neq$ RHL
अतः f(x), x = 1 पर असतत् है।
x = 3 पर, LHL = $ \lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ (4) = 4 तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}}$ (5) = 5
$\therefore $ अतः f(x), x = 1 तथा x = 3 को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत् फलन है।
चूँकि 0 $\leq $ x < 1 के लिए, f(x) = 3 तथा 1< x < 3 के लिए f(x) = 4 तथा 3 < x < 10 के लिए f(x) = 5 अचर फलन है, अतः सतत् फलन है। अब हम केवल x = 1 तथा x = 3 पर सतत्ता का परीक्षण करेंगे।
x = 1 पर, LHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}$ (3) = 3 तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}}$ (4) = 4
$\therefore $ LHL $ \neq$ RHL
अतः f(x), x = 1 पर असतत् है।
x = 3 पर, LHL = $ \lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ f(x) = $ \lim \limits_{x \rightarrow 3^{-}}$ (4) = 4 तथा RHL = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}}$ f(x) = $\lim \limits_{x \rightarrow 3^{+}}$ (5) = 5
$\therefore $ अतः f(x), x = 1 तथा x = 3 को छोड़कर सभी बिंदुओं पर सतत् फलन है।
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