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दर्शाइए कि दिक्$-$कोसाइन $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
Exercise-11.2-1
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  1. प्रथम दो रेखाओं, जिनकी दिक्$-$कोसाइन $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ तथा $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ हैं, के लिए
    $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \frac{12}{13} \times \frac{4}{13}+\left(\frac{-3}{13}\right) \times \frac{12}{13}+\left(\frac{-4}{13}\right) \times \frac{3}{13}$
    $=\frac{48}{169}-\frac{36}{169}-\frac{12}{169} = 0$
    अतः दोनों रेखाएँ लंबवत् हैं।
  2. द्वितीय तथा तृतीय रेखा जिनकी दिक्$-$कोसाइन $\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}$ तथा $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ हैं, के लिए
    $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \frac{4}{13} \times \frac{3}{13}+\frac{12}{13} \times\left(\frac{-4}{13}\right)+\frac{3}{13} \times \frac{12}{13}$
    $=\frac{12}{169}-\frac{48}{169}+\frac{36}{169} = 0$
    अतः दोनों रेखाएँ लंबवत् हैं।
  3. तृतीय तथा प्रथम रेखा, जिनकी दिक्$-$कोसाइन $\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ तथा $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}$ हैं, के लिए
    $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \frac{3}{13} \times \frac{12}{13}+\left(\frac{-4}{13}\right) \times\left(\frac{-3}{13}\right)+\frac{12}{13} \times\left(\frac{-4}{13}\right)$
    $=\frac{36}{169}+\frac{12}{169}-\frac{48}{169}=\frac{36}{169}-\frac{36}{169} = 0$
    अतः दोनों रेखाएँ लंबवत् हैं।
    अतः सभी रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।
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