f(x) = $12x^{\frac{4}{3}}$ - $6x^{\frac{1}{3}}$, x $ \in$ [- 1, 1] द्वारा प्रदत्त एक फलन f के निरपेक्ष उच्चतम और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-40
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हमें ज्ञात है कि
f(x) = $12x^{\frac{4}{3}}$ - $6x^{\frac{1}{3}}$
या f$^{\prime}$(x) = $16x^{\frac{1}{3}}$ - $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ = $\frac{2(8 x-1)}{x^{\frac{2}{3}}}$
इस प्रकार f$^{\prime}$(x) = 0 से x = $\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है। और ध्यान दीजिए कि x = 0 पर f$^{\prime}$(x) परिभाषित नहीं है। इसलिए क्रांतिक बिंदु x = 0 और x = $ \frac{1}{8}$ हैं। अब क्रांतिक बिंदुओं x = 0, $\frac{1}{8}$ और अंतराल के अंत्य बिंदुओं x = - 1 व x = 1 पर फलन f के मान का परिकलन करने से
f(- 1) = 12(-$1^{\frac{4}{3}}$) - 6(-$1^{\frac{1}{3}}$) = 18
f(0) = 12(0) - 6(0) = 0
$f\left(\frac{1}{8}\right) $= $12\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{4}{3}}$ - $6\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}$ = $\frac{-9}{4}$
f(1) = $12\left(1^{\frac{4}{3}}\right)$ - $6\left(1^{\frac{1}{3}}\right)$ = 6
प्राप्त होते हैं। इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते है कि x = - 1 पर f का निरपेक्ष उच्चतम मान 18 है और x = $\frac{1}{8}$ पर f का निरपेक्ष निम्नतम मान $\frac{-9}{4}$ है।
f(x) = $12x^{\frac{4}{3}}$ - $6x^{\frac{1}{3}}$
या f$^{\prime}$(x) = $16x^{\frac{1}{3}}$ - $\frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$ = $\frac{2(8 x-1)}{x^{\frac{2}{3}}}$
इस प्रकार f$^{\prime}$(x) = 0 से x = $\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है। और ध्यान दीजिए कि x = 0 पर f$^{\prime}$(x) परिभाषित नहीं है। इसलिए क्रांतिक बिंदु x = 0 और x = $ \frac{1}{8}$ हैं। अब क्रांतिक बिंदुओं x = 0, $\frac{1}{8}$ और अंतराल के अंत्य बिंदुओं x = - 1 व x = 1 पर फलन f के मान का परिकलन करने से
f(- 1) = 12(-$1^{\frac{4}{3}}$) - 6(-$1^{\frac{1}{3}}$) = 18
f(0) = 12(0) - 6(0) = 0
$f\left(\frac{1}{8}\right) $= $12\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{4}{3}}$ - $6\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}$ = $\frac{-9}{4}$
f(1) = $12\left(1^{\frac{4}{3}}\right)$ - $6\left(1^{\frac{1}{3}}\right)$ = 6
प्राप्त होते हैं। इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते है कि x = - 1 पर f का निरपेक्ष उच्चतम मान 18 है और x = $\frac{1}{8}$ पर f का निरपेक्ष निम्नतम मान $\frac{-9}{4}$ है।
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