सिद्ध कीजिये कि $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 2 a & 3 a+2 b & 4 a+3 b+2 c \\ 3 a & 6 a+3 b & 10 a+6 b+3 c \end{array}\right| = a^3$
EXAMPLE-11
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सारणिक $\Delta$ में $R_2 \rightarrow R_{2 }- 2R_1 और R_3 \rightarrow R_{3 }- 3R_1$ का प्रयोग करने पर हम पाते हैं कि
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2 a+b \\ 0 & 3 a & 7 a+3 b \end{array}\right|$
पुनः $R_3 \rightarrow R_{3 }- 3R_2,$ का प्रयोग करने से हम पाते हैं कि
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2 a+b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right|$
$C_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर
$\Delta = a\left|\begin{array}{cc} a & 2 a+b \\ 0 & a \end{array}\right| + 0 + 0$
$= a (a^2 - 0) = a(a^2) = a^{3 }$ प्राप्त होता है।
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2 a+b \\ 0 & 3 a & 7 a+3 b \end{array}\right|$
पुनः $R_3 \rightarrow R_{3 }- 3R_2,$ का प्रयोग करने से हम पाते हैं कि
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & a+b & a+b+c \\ 0 & a & 2 a+b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right|$
$C_1$ के अनुदिश प्रसरण करने पर
$\Delta = a\left|\begin{array}{cc} a & 2 a+b \\ 0 & a \end{array}\right| + 0 + 0$
$= a (a^2 - 0) = a(a^2) = a^{3 }$ प्राप्त होता है।
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