फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
Exercise-6.5-9
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मान लीजिए f$^{\prime}$(x) = sin x + cos x
$\Rightarrow$ f$^{\prime}$ = cos x - sin x
और f$^{\prime \prime}$ = - sin x - cos x = - (sin x + cos x)
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर
$\Rightarrow $ cos x - sin x = 0 $\Rightarrow $ sin x = cos x
$\Rightarrow $ $ \frac{\sin x}{\cos x}$ = 1 $\Rightarrow $ tan x = 1
$\Rightarrow $ x = $ \frac{\pi}{4}$, $\frac{5 \pi}{4}$, ....
अब, f $^{\prime \prime}$(x) ॠणात्मक होगा जब (sin x + cos x) धनात्मक है या जब sin x और cos x दोनों धनात्मक होंगे और हम जानते हैं कि sin x और cos x दोनों प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक हैं। तब, f$^{\prime \prime}$(x) ॠणात्मक होगा, जब x $\in$$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
इसलिए, x = $\frac{\pi}{4}$ पर,
f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - $ \left(\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\right)$
= - $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ = - $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2}$ < 0
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा, x = $ \frac{\pi}{4}$ पर f उच्चतम है और f का उच्चतम मान f $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + $\cos \frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $ \frac{1}{\sqrt{2}}$ = $ \frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ है।
$\Rightarrow$ f$^{\prime}$ = cos x - sin x
और f$^{\prime \prime}$ = - sin x - cos x = - (sin x + cos x)
उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर
$\Rightarrow $ cos x - sin x = 0 $\Rightarrow $ sin x = cos x
$\Rightarrow $ $ \frac{\sin x}{\cos x}$ = 1 $\Rightarrow $ tan x = 1
$\Rightarrow $ x = $ \frac{\pi}{4}$, $\frac{5 \pi}{4}$, ....
अब, f $^{\prime \prime}$(x) ॠणात्मक होगा जब (sin x + cos x) धनात्मक है या जब sin x और cos x दोनों धनात्मक होंगे और हम जानते हैं कि sin x और cos x दोनों प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक हैं। तब, f$^{\prime \prime}$(x) ॠणात्मक होगा, जब x $\in$$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
इसलिए, x = $\frac{\pi}{4}$ पर,
f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - $ \left(\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\right)$
= - $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ = - $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2}$ < 0
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा, x = $ \frac{\pi}{4}$ पर f उच्चतम है और f का उच्चतम मान f $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + $\cos \frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $ \frac{1}{\sqrt{2}}$ = $ \frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ है।
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