अवकलज के अनुप्रयोग — गणित कक्षा 12 साइन्स — Question
Rajasthan Boardहिन्दी माध्यमकक्षा 12 साइन्सगणितअवकलज के अनुप्रयोग2 Marks
Question
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
✓
Answer
मान लीजिए f$^{\prime}$(x) = sin x + cos x $\Rightarrow$ f$^{\prime}$ = cos x - sin x और f$^{\prime \prime}$ = - sin x - cos x = - (sin x + cos x) उच्चतम और न्यूनतम मान के लिए f$^{\prime}$(x) = 0 रखने पर $\Rightarrow $ cos x - sin x = 0 $\Rightarrow $ sin x = cos x $\Rightarrow $ $ \frac{\sin x}{\cos x}$ = 1 $\Rightarrow $ tan x = 1 $\Rightarrow $ x = $ \frac{\pi}{4}$, $\frac{5 \pi}{4}$, .... अब, f $^{\prime \prime}$(x) ॠणात्मक होगा जब (sin x + cos x) धनात्मक है या जब sin x और cos x दोनों धनात्मक होंगे और हम जानते हैं कि sin x और cos x दोनों प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक हैं। तब, f$^{\prime \prime}$(x) ॠणात्मक होगा, जब x $\in$$\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ इसलिए, x = $\frac{\pi}{4}$ पर, f$^{\prime \prime}$ $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = - $ \left(\sin \frac{\pi}{4}+\cos \frac{\pi}{4}\right)$ = - $ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ = - $\frac{2}{\sqrt{2}}$ = - $\sqrt{2}$ < 0 $\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा, x = $ \frac{\pi}{4}$ पर f उच्चतम है और f का उच्चतम मान f $\left(\frac{\pi}{4}\right)$ = sin $\frac{\pi}{4}$ + $\cos \frac{\pi}{4}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $ \frac{1}{\sqrt{2}}$ = $ \frac{2}{\sqrt{2}}$ = $\sqrt{2}$ है।
Need a full question paper?
Generate a complete, print-ready paper with questions like this in minutes — across 16+ boards, with answer keys.